Équations et inéquations : exercices corrigés de maths 2de à télécharger en PDF

1 Une équation simple ★★★

On retranche \(9\) aux deux membres : \(4x = 24\). On divise par \(4\) : \(x = 6\).

Vérification : \(4 \times 6 + 9 = 33\). Donc \(S = \{6\}\).

2 Inconnue des deux côtés ★★★

On ajoute \(2x\) aux deux membres : \(7 = 5x + 22\). On retranche \(22\) : \(-15 = 5x\). On divise par \(5\) : \(x = -3\).

Vérification : \(7 - 2 \times (-3) = 13\) et \(3 \times (-3) + 22 = 13\). Donc \(S = \{-3\}\).

3 Produit nul ★★★

Un produit est nul si l’un de ses facteurs est nul. \(x - 4 = 0\) donne \(x = 4\) ; \(3x + 6 = 0\) donne \(3x = -6\), soit \(x = -2\).

Donc \(S = \{-2\,;\,4\}\).

4 Valeur interdite ★★★

1. Le dénominateur s’annule si \(2x - 8 = 0\), donc \(x = 4\). La valeur interdite est \(4\).
2. Un quotient est nul si son numérateur est nul et son dénominateur non nul : \(x + 5 = 0\) donne \(x = -5\), et \(-5 \neq 4\). Donc \(S = \{-5\}\).

5 Une inéquation et son intervalle ★★★

On ajoute \(7\) : \(2x \lt 16\). On divise par \(2\) (positif, le sens ne change pas) : \(x \lt 8\).

\(S = ]-\infty\,;\,8[\).

6 Vrai ou faux ? ★★★

1. Vrai : \(5 \times 3 - 4 = 11\).
2. Vrai : pour \(x = -2\), le facteur \(x + 2\) vaut \(0\), donc le produit est nul.
3. Faux : pour \(x = 1\), \(4 \times 1 + 1 = 5\) et \(5 \lt 5\) est faux (l’inégalité est stricte).
4. Faux : \(2\) est la valeur interdite, le quotient n’existe pas pour \(x = 2\).

7 Un premier système ★★★

On additionne les deux équations : \(2x = 12\), donc \(x = 6\). Dans la première : \(6 + y = 9\), donc \(y = 3\).

Vérification : \(6 + 3 = 9\) et \(6 - 3 = 3\). Donc \(S = \{(6\,;\,3)\}\).

8 Avec des parenthèses ★★★

On développe le membre de gauche : \(6x - 3 - 4x - 8 = 2x - 11\). L’équation devient \(2x - 11 = 5x - 2\).

On retranche \(5x\) : \(-3x - 11 = -2\). On ajoute \(11\) : \(-3x = 9\). Donc \(x = -3\).

Vérification : à gauche \(3 \times (-7) - 4 \times (-1) = -21 + 4 = -17\) ; à droite \(5 \times (-3) - 2 = -17\). \(S = \{-3\}\).

9 Factoriser pour résoudre ★★★

1. On met \(x\) en facteur : \(x(x + 6) = 0\). Donc \(x = 0\) ou \(x = -6\). \(S = \{-6\,;\,0\}\).
2. \(9x^2 - 25 = (3x)^2 - 5^2 = (3x - 5)(3x + 5) = 0\). Donc \(x = \dfrac{5}{3}\) ou \(x = -\dfrac{5}{3}\). \(S = \left\{-\dfrac{5}{3}\,;\,\dfrac{5}{3}\right\}\).

10 Équation avec un quotient ★★★

La valeur interdite est \(-1\). Pour \(x \neq -1\), on multiplie par \(x + 1\) : \(3x - 2 = 4(x + 1) = 4x + 4\). Donc \(-6 = x\).

\(-6\) n’est pas la valeur interdite. Vérification : \(\dfrac{3 \times (-6) - 2}{-6 + 1} = \dfrac{-20}{-5} = 4\). \(S = \{-6\}\).

11 Inéquation avec un coefficient négatif ★★★

On retranche \(3\) : \(-4x \geqslant 12\). On divise par \(-4\) (négatif), on change le sens : \(x \leqslant -3\).

\(S = ]-\infty\,;\,-3]\), la borne \(-3\) est incluse.

12 Des deux côtés de l’inégalité ★★★

On développe : \(2x - 6 \lt 5x + 6\). On retranche \(5x\) : \(-3x - 6 \lt 6\). On ajoute \(6\) : \(-3x \lt 12\). On divise par \(-3\), le sens change : \(x \gt -4\).

\(S = ]-4\,;\,+\infty[\). Test : \(x = 0\) donne \(-6 \lt 6\), c’est vrai.

13 Un tableau de signes ★★★

\(x + 4\) s’annule en \(-4\) ; \(3 - x\) s’annule en \(3\) (coefficient de \(x\) négatif : positif avant \(3\), négatif après).

Le produit est positif ou nul entre \(-4\) et \(3\), bornes comprises : \(S = [-4\,;\,3]\).

14 Deux formules d’abonnement ★★★

1. Formule A : \(15 + 4n\) euros. Formule B : \(7n\) euros.
2. On résout \(15 + 4n \lt 7n\), soit \(15 \lt 3n\), donc \(n \gt 5\). Comme \(n\) est entier, A est moins chère à partir de \(6\) séances.

Contrôle : pour \(5\) séances, les deux formules coûtent \(35\) € ; pour \(6\), \(39\) € contre \(42\) €.

15 Lecture graphique ★★★

1. Les droites se coupent au point \(I(2\,;\,2)\). On vérifie : \(f(2) = 2\) et \(g(2) = 2\).
2. \(f(x) \lt g(x)\) signifie que la droite de \(f\) est sous celle de \(g\), c’est-à-dire pour \(x \lt 2\). Par le calcul : \(\dfrac{1}{2}x + 1 \lt -x + 4\) équivaut à \(\dfrac{3}{2}x \lt 3\), donc \(x \lt 2\). \(S = ]-\infty\,;\,2[\).

16 Système par combinaison ★★★

On multiplie la première équation par \(2\) : \(6x + 4y = 10\). On soustrait la seconde : \((6x + 4y) - (5x + 4y) = 10 - 11\), donc \(x = -1\).

Dans la première : \(3 \times (-1) + 2y = 5\), donc \(2y = 8\) et \(y = 4\).

Vérification : \(5 \times (-1) + 4 \times 4 = 11\). \(S = \{(-1\,;\,4)\}\).

17 Au marché ★★★

Soit \(a\) le prix du kilo de pommes et \(b\) celui du kilo de poires (en euros). On obtient \(\begin{cases} 3a + 2b = 11{,}8 \\ 2a + 5b = 19{,}6 \end{cases}\).

On multiplie la première par \(5\) et la seconde par \(2\) : \(15a + 10b = 59\) et \(4a + 10b = 39{,}2\). On soustrait : \(11a = 19{,}8\), donc \(a = 1{,}8\). Puis \(2b = 11{,}8 - 5{,}4 = 6{,}4\), donc \(b = 3{,}2\).

Vérification : \(2 \times 1{,}8 + 5 \times 3{,}2 = 3{,}6 + 16 = 19{,}6\).

Les pommes coûtent \(1{,}80\) € le kilo et les poires \(3{,}20\) € le kilo.

18 Égalité de deux quotients ★★★

Les valeurs interdites sont \(2\) et \(-1\) dans les deux cas.

1. Produit en croix : \((x + 3)(x + 1) = (x - 1)(x - 2)\). On développe : \(x^2 + 4x + 3 = x^2 - 3x + 2\). Les termes en \(x^2\) disparaissent : \(7x = -1\), donc \(x = -\dfrac{1}{7}\), valeur autorisée. \(S = \left\{-\dfrac{1}{7}\right\}\).
2. \((x + 1)(x + 1) = (x + 4)(x - 2)\) donne \(x^2 + 2x + 1 = x^2 + 2x - 8\), soit \(1 = -8\), ce qui est impossible. \(S = \varnothing\).

19 Signe d’un quotient ★★★

\(x - 3\) s’annule en \(3\) ; \(2x + 4\) s’annule en \(-2\), valeur interdite (double barre).

Le quotient est négatif ou nul pour \(x\) entre \(-2\) (exclu) et \(3\) (inclus, car le numérateur est nul) : \(S = ]-2\,;\,3]\).

20 Un produit strictement positif ★★★

\(x - 1\) s’annule en \(1\) ; \(5 - 2x\) s’annule en \(\dfrac{5}{2}\) et a un coefficient de \(x\) négatif.

Le produit est strictement positif entre \(1\) et \(\dfrac{5}{2}\), bornes exclues : \(S = \left]1\,;\,\dfrac{5}{2}\right[\).

21 Le jardin rectangulaire ★★★

1. Le périmètre est \(2(x + x + 6) = 4x + 12\). Il doit vérifier \(4x + 12 \leqslant 60\), soit \(4x \leqslant 48\), donc \(x \leqslant 12\). Avec \(x \gt 0\), on a \(0 \lt x \leqslant 12\).
2. L’aire \(x(x + 6)\) augmente avec \(x\) (les deux dimensions augmentent), donc elle est maximale pour \(x = 12\) : \(12 \times 18 = 216\). L’aire maximale est \(216\) m².

22 Un produit égal à 6 ★★★

On développe : \(x^2 - x - 6 = 6\), soit \(x^2 - x - 12 = 0\). On factorise : \(x^2 - x - 12 = (x - 4)(x + 3)\) (car \(-4 \times 3 = -12\) et \(-4 + 3 = -1\)).

Donc \((x - 4)(x + 3) = 0\), d’où \(x = 4\) ou \(x = -3\).

Vérification : \(x = 4\) donne \(1 \times 6 = 6\) ; \(x = -3\) donne \((-6) \times (-1) = 6\). \(S = \{-3\,;\,4\}\).