Droites et systèmes linéaires : corrigé du contrôle de maths 2de à télécharger en PDF

1 Équation d’une droite / 3 pts

1. \(m = \dfrac{-4 - 4}{3 - (-1)} = \dfrac{-8}{4} = -2\) (1 pt). Avec \(A\) : \(4 = -2 \times (-1) + p = 2 + p\), donc \(p = 2\). La droite a pour équation \(y = -2x + 2\) (1 pt).
2. Pour \(x = 5\) : \(-2 \times 5 + 2 = -8\), égal à l’ordonnée de \(C\) : \(C\) appartient à \((AB)\) (1 pt).

2 Cartésienne et parallélisme / 3 pts

1. \(2y = 4x + 6\), donc \(y = 2x + 3\) (1 pt) ; \(m = 2\) et \(p = 3\) (1 pt).
2. \(d’\) a aussi pour coefficient directeur \(2\), avec une ordonnée à l’origine différente (\(-5 \neq 3\)) : les droites sont strictement parallèles (1 pt).

3 Parallèle et intersection / 4 pts

1. \(\Delta\) a la même pente : \(y = -\dfrac{1}{2}x + p\) (1 pt). Avec \(P\) : \(2 = -3 + p\), donc \(p = 5\) et \(\Delta : y = -\dfrac{1}{2}x + 5\) (1 pt).
2. On résout \(-\dfrac{1}{2}x + 4 = 2x - 1\) : \(5 = \dfrac{5}{2}x\), donc \(x = 2\) (1 pt). Puis \(y = 2 \times 2 - 1 = 3\) : le point d’intersection est \((2\,;\,3)\) (1 pt).

4 Résoudre des systèmes / 4 pts

a) On remplace : \(3x + 2x - 5 = 10\), donc \(5x = 15\) et \(x = 3\) (1 pt). Puis \(y = 6 - 5 = 1\). Solution \((3\,;\,1)\) (1 pt).

b) On multiplie la première équation par \(2\) : \(10x + 4y = 38\). On additionne avec \(3x - 4y = 1\) : \(13x = 39\), donc \(x = 3\) (1 pt). Puis \(15 + 2y = 19\), soit \(y = 2\). Solution \((3\,;\,2)\) (1 pt).

5 Location de vélos / 4 pts

1. \(y_A = 3x + 5\) et \(y_B = 2x + 9\) (1 pt).
2. \(3x + 5 = 2x + 9\) donne \(x = 4\) (1,5 pt) : pour \(4\) heures, les prix sont égaux (\(17\) €).
3. Pour \(6\) heures : \(y_A = 23\) € et \(y_B = 21\) €. Il faut choisir le loueur B, moins cher de \(2\) € (1,5 pt).

6 Combien de solutions ? / 2 pts

a) Même pente \(3\), ordonnées à l’origine différentes : droites strictement parallèles, aucune solution (1 pt).

b) La seconde équation est la première multipliée par \(3\) : les droites sont confondues, une infinité de solutions (1 pt).