Droites et systèmes linéaires : exercices corrigés de maths 2de

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Exercices corrigés de maths en 2de : Droites et systèmes linéaires — Zyro, l’explorateur de Planète Maths

Corrigés rédigés des exercices du chapitre. Vérifie chaque étape, puis corrige-toi.

1 Lire m et p ★★★

\(y = 3x - 5\) : \(m = 3\), \(p = -5\). \(y = -x + 4\) : \(m = -1\), \(p = 4\). \(y = \dfrac{x}{2}\) : \(m = \dfrac{1}{2}\), \(p = 0\). \(y = 7\) : \(m = 0\), \(p = 7\) (droite horizontale).

2 Un point est-il sur la droite ? ★★★

Pour \(A\) : \(2 \times 4 - 3 = 5\), égal à l’ordonnée de \(A\) : \(A \in d\).

Pour \(B\) : \(2 \times (-1) - 3 = -5\), différent de \(-6\) : \(B \notin d\).

Pour \(C\) : \(2 \times 0 - 3 = -3\) : \(C \in d\) (c’est le point d’ordonnée à l’origine).

3 Calculer une pente ★★★

Premier cas : \(m = \dfrac{10 - 2}{5 - 1} = \dfrac{8}{4} = 2\).

Deuxième cas : \(m = \dfrac{-3 - 3}{4 - (-2)} = \dfrac{-6}{6} = -1\).

Troisième cas : \(m = \dfrac{5 - 5}{6 - 0} = 0\) : la droite est horizontale.

4 Tracer une droite ★★★

Pour \(x = 0\) : \(y = 3\), donc le point \((0\,;\,3)\). Pour \(x = 2\) : \(y = -4 + 3 = -1\), donc le point \((2\,;\,-1)\).

On place ces deux points dans le repère et on les relie à la règle : la droite descend car \(m = -2 < 0\).

5 De cartésienne à réduite ★★★

\(2x + y - 5 = 0\) donne \(y = -2x + 5\).

\(x - 2y + 4 = 0\) donne \(-2y = -x - 4\), puis \(y = \dfrac{1}{2}x + 2\).

6 Parallèles ou sécantes ? ★★★

\(d_1\) et \(d_2\) ont la même pente \(4\) et des ordonnées à l’origine différentes (\(-1\) et \(6\)) : elles sont strictement parallèles.

\(d_1\) a pour pente \(4\) et \(d_3\) a pour pente \(\dfrac{1}{4}\) : les pentes sont différentes, donc \(d_1\) et \(d_3\) sont sécantes.

7 Un couple est-il solution ? ★★★

Pour \((2\,;\,3)\) : \(2 + 3 = 5\) et \(2 \times 2 - 3 = 1\). Les deux équations sont vérifiées : c’est une solution.

Pour \((1\,;\,4)\) : \(1 + 4 = 5\), mais \(2 \times 1 - 4 = -2 \neq 1\). La seconde équation n’est pas vérifiée : ce n’est pas une solution.

8 Lire une équation sur un graphique ★★★

On lit \(A(0\,;\,3)\) et \(B(2\,;\,2)\). Donc \(p = 3\) (le point \(A\) est sur l’axe des ordonnées).

\(m = \dfrac{2 - 3}{2 - 0} = -\dfrac{1}{2}\).

L’équation de \(d\) est \(y = -\dfrac{1}{2}x + 3\).

9 Droite par deux points ★★★

\(m = \dfrac{9 - 1}{6 - 2} = \dfrac{8}{4} = 2\), donc \(y = 2x + p\).

Avec \(A\) : \(1 = 2 \times 2 + p\), donc \(p = -3\).

La droite a pour équation \(y = 2x - 3\). Contrôle avec \(B\) : \(2 \times 6 - 3 = 9\).

10 Pente et un point ★★★

On écrit \(y = -\dfrac{3}{2}x + p\) et on remplace par les coordonnées de \(E\) : \(-1 = -\dfrac{3}{2} \times 4 + p = -6 + p\), donc \(p = 5\).

L’équation est \(y = -\dfrac{3}{2}x + 5\).

11 La course en taxi ★★★

Le prix croît de \(1{,}20\) € par km à partir de \(3{,}50\) € : \(y = 1{,}2x + 3{,}5\).
Pour \(x = 15\) : \(y = 1{,}2 \times 15 + 3{,}5 = 18 + 3{,}5 = 21{,}5\). La course coûte \(21{,}50\) €.
On résout \(1{,}2x + 3{,}5 = 29{,}9\) : \(1{,}2x = 26{,}4\), donc \(x = 22\). La course faisait \(22\) km.

12 Une parallèle ★★★

Deux droites parallèles ont la même pente : \(m = -3\). Donc \(y = -3x + p\).

Avec \(P\) : \(1 = -3 \times 2 + p\), donc \(p = 7\). L’équation est \(y = -3x + 7\).

13 Trouver une cartésienne ★★★

\(m = \dfrac{8 - 2}{3 - 1} = 3\), donc \(y = 3x + p\), et avec \(A\) : \(2 = 3 + p\), soit \(p = -1\). L’équation réduite est \(y = 3x - 1\).

On passe tout dans un membre : \(3x - y - 1 = 0\). Vérification : pour \(A\), \(3 - 2 - 1 = 0\) ; pour \(B\), \(9 - 8 - 1 = 0\).

14 Substitution ★★★

On remplace \(y\) : \(2x + 3x - 2 = 8\), donc \(5x = 10\) et \(x = 2\).

Alors \(y = 3 \times 2 - 2 = 4\).

Vérification : \(2 \times 2 + 4 = 8\). La solution est \((2\,;\,4)\).

15 Combinaison ★★★

Les termes en \(y\) sont opposés : on additionne les deux équations, \(6x = 18\), donc \(x = 3\).

Dans la première : \(6 + 3y = 12\), donc \(y = 2\).

Vérification : \(4 \times 3 - 3 \times 2 = 6\). La solution est \((3\,;\,2)\).

16 Lecture graphique d’un système ★★★

Les droites semblent se couper au point \((2\,;\,4)\).

Par le calcul : \(-x + 6 = 0{,}5x + 3\) donne \(3 = 1{,}5x\), donc \(x = 2\), puis \(y = -2 + 6 = 4\). Contrôle dans la seconde : \(0{,}5 \times 2 + 3 = 4\).

La solution est \((2\,;\,4)\).

17 Deux tarifs d’escalade ★★★

\(y_A = 8x\) et \(y_B = 30 + 5x\).
Les prix sont égaux quand \(8x = 30 + 5x\), soit \(3x = 30\) et \(x = 10\) : à \(10\) séances, les deux formules coûtent \(80\) €.

La droite de B a une ordonnée à l’origine plus haute mais une pente plus faible : elle passe sous celle de A après \(x = 10\). La formule B est plus avantageuse à partir de \(11\) séances (par exemple \(11\) séances : \(88\) € pour A, \(85\) € pour B).

18 La tirelire ★★★

Soit \(x\) le nombre de pièces de \(1\) € et \(y\) celui des pièces de \(2\) €. On obtient \(\begin{cases} x + y = 17 \\ x + 2y = 25 \end{cases}\).

On soustrait la première équation à la seconde : \(y = 8\). Puis \(x = 17 - 8 = 9\).

Vérification : \(9 + 2 \times 8 = 25\). Il y a \(9\) pièces de \(1\) € et \(8\) pièces de \(2\) €.

19 Points alignés ★★★

Coefficient directeur de \((AB)\) : \(\dfrac{8 - 2}{2 - (-1)} = \dfrac{6}{3} = 2\).

Coefficient directeur de \((AC)\) : \(\dfrac{12 - 2}{4 - (-1)} = \dfrac{10}{5} = 2\). Les deux droites ont la même pente et passent par \(A\) : elles sont confondues, donc \(A\), \(B\), \(C\) sont alignés.
Coefficient directeur de \((AD)\) : \(\dfrac{13 - 2}{5 - (-1)} = \dfrac{11}{6} \neq 2\). Les points \(A\), \(B\), \(D\) ne sont pas alignés.

20 Aucune solution, une infinité ★★★

\(S_1\) : la première équation donne \(y = -2x + 3\), la seconde \(y = -2x + \dfrac{7}{2}\). Même pente, ordonnées à l’origine différentes : droites strictement parallèles, donc aucune solution.

\(S_2\) : la première donne \(y = x - 2\) ; la seconde, divisée par \(3\), donne aussi \(x - y = 2\), soit \(y = x - 2\). Les droites sont confondues : une infinité de solutions, tous les couples \((x\,;\,x - 2)\).