Trigonométrie : exercices de maths 1ère à télécharger en PDF

1 Des degrés aux radians ★★★

Convertis en radians (sous forme de fraction de \(\pi\)) : a) \(45^\circ\) ; b) \(120^\circ\) ; c) \(210^\circ\) ; d) \(270^\circ\).

2 Des radians aux degrés ★★★

Convertis en degrés : a) \(\dfrac{\pi}{5}\) ; b) \(\dfrac{5\pi}{6}\) ; c) \(\dfrac{7\pi}{4}\) ; d) \(\dfrac{3\pi}{10}\).

3 Mesures principales ★★★

Donne la mesure principale (dans \(]-\pi\,;\,\pi]\)) de : a) \(\dfrac{7\pi}{3}\) ; b) \(-\dfrac{5\pi}{2}\) ; c) \(\dfrac{13\pi}{4}\) ; d) \(\dfrac{11\pi}{6}\).

4 Valeurs à connaître ★★★

Donne la valeur exacte de : a) \(\cos\dfrac{\pi}{6}\) ; b) \(\sin\dfrac{\pi}{3}\) ; c) \(\cos\dfrac{\pi}{2}\) ; d) \(\sin\pi\) ; e) \(\cos\dfrac{\pi}{4}\).

5 Vrai ou faux ? ★★★

Dis si chaque affirmation est vraie ou fausse, en justifiant.

1. \(\cos\dfrac{\pi}{3} = \sin\dfrac{\pi}{6}\).
2. Il existe un réel \(x\) tel que \(\cos x = 1{,}2\).
3. \(\cos\dfrac{2\pi}{3} = \dfrac{1}{2}\).
4. \(\sin\left(-\dfrac{\pi}{4}\right) = \dfrac{\sqrt{2}}{2}\).

6 L’aiguille de l’horloge ★★★

L’aiguille des minutes d’une grande horloge de gare mesure \(12\) cm. Pendant \(20\) minutes, elle tourne d’un tiers de tour. Quel angle (en radians) a-t-elle parcouru ? Quelle distance, en cm, la pointe de l’aiguille a-t-elle parcourue (valeur exacte puis arrondie au centième) ?

7 Cosinus donné ★★★

Un réel \(x\) de \([0\,;\,\pi]\) vérifie \(\cos x = \dfrac{5}{13}\). Calcule \(\sin x\).

8 Angles associés en série ★★★

Calcule la valeur exacte de : a) \(\cos\dfrac{2\pi}{3}\) ; b) \(\sin\dfrac{5\pi}{4}\) ; c) \(\cos\left(-\dfrac{5\pi}{6}\right)\) ; d) \(\sin\dfrac{11\pi}{6}\) ; e) \(\cos\dfrac{7\pi}{4}\).

9 Simplifier des expressions ★★★

Simplifie, pour tout réel \(x\) : \(A = \cos(\pi - x) + \sin\left(\dfrac{\pi}{2} - x\right)\) ; \(B = \sin(\pi + x) + \sin(-x)\) ; \(C = \cos(\pi + x) - \cos(-x)\).

10 Équation avec un cosinus ★★★

Résous dans \(]-\pi\,;\,\pi]\) l’équation \(\cos x = -\dfrac{\sqrt{3}}{2}\).

11 Équation avec un sinus ★★★

Résous dans \([0\,;\,2\pi]\) l’équation \(\sin x = \dfrac{\sqrt{3}}{2}\).

12 Un angle dans le deuxième quadrant ★★★

Un réel \(x\) de \(\left[\dfrac{\pi}{2}\,;\,\pi\right]\) vérifie \(\sin x = \dfrac{3}{5}\). Calcule \(\cos x\), puis \(\cos(\pi - x)\), \(\sin\left(\dfrac{\pi}{2} - x\right)\) et \(\sin(\pi + x)\).

13 Parité de fonctions ★★★

Étudie la parité des fonctions définies sur \(\mathbb{R}\) par : \(f(x) = \cos x + x^2\) ; \(g(x) = x\cos x\) ; \(h(x) = \sin x + 1\).

14 La grande roue ★★★

Une grande roue a un rayon de \(20\) m et son centre est à \(22\) m du sol. Une nacelle part du point le plus bas. Quand elle a tourné d’un angle \(\theta\) (en radians), sa hauteur est \(h(\theta) = 22 - 20\cos\theta\) (en mètres).

a) Calcule \(h(0)\), \(h\left(\dfrac{\pi}{3}\right)\), \(h\left(\dfrac{\pi}{2}\right)\) et \(h(\pi)\). b) Pour quel angle de \([0\,;\,\pi]\) la hauteur vaut-elle \(22 + 10\sqrt{3}\) m ?

15 Équation du second degré en sinus ★★★

Résous dans \(]-\pi\,;\,\pi]\) l’équation \(2\sin^2 x - \sin x - 1 = 0\).

16 Équation avec un double angle ★★★

Résous dans \([0\,;\,\pi]\) l’équation \(\cos(2x) = \dfrac{1}{2}\).

17 Une inéquation avec le cosinus ★★★

Résous dans \(]-\pi\,;\,\pi]\) l’inéquation \(\cos x \geqslant \dfrac{\sqrt{2}}{2}\), en t’aidant du cercle trigonométrique.

18 Une inéquation avec le sinus ★★★

Résous dans \(]-\pi\,;\,\pi]\) l’inéquation \(\sin x < -\dfrac{1}{2}\).

19 Une identité et ses conséquences ★★★

a) Démontre que, pour tout réel \(x\), \((\cos x + \sin x)^2 = 1 + 2\sin x\cos x\).

b) Sachant que \(\cos x + \sin x = \dfrac{1}{2}\), calcule \(\sin x\cos x\).

20 Périodicité de sin(2x) ★★★

Soit \(f(x) = \sin(2x)\) pour tout réel \(x\).

a) Démontre que \(f\) est impaire. b) Démontre que \(f(x + \pi) = f(x)\) pour tout \(x\). c) Calcule \(f\left(\dfrac{\pi}{12}\right)\), \(f\left(-\dfrac{\pi}{12}\right)\) et \(f\left(\dfrac{13\pi}{12}\right)\).

21 Les marées d’un petit port ★★★

Dans un port, la hauteur d’eau (en m) \(t\) heures après la pleine mer est \(h(t) = 4 + 1{,}5\cos\left(\dfrac{\pi t}{6}\right)\), pour \(t \in [0\,;\,12]\).

a) Calcule \(h(0)\), \(h(3)\) et \(h(6)\). b) Quelle est la période de \(t \mapsto h(t)\) ? c) À quels instants de \([0\,;\,12]\) la hauteur d’eau vaut-elle \(4{,}75\) m (droite en pointillés) ?