Suites numériques : exercices de maths 1ère à télécharger en PDF

1 Calculer des termes explicites ★★★

Soit la suite définie par \(u_n = 4n - 7\). Calcule \(u_0\), \(u_1\), \(u_5\) et \(u_{20}\).

2 Tableau de valeurs ★★★

Soit \(v_n = n^2 + 3n\). Complète le tableau de valeurs de \(v_0\) à \(v_4\), puis calcule \(v_{10}\).

3 Une récurrence simple ★★★

La suite \((w_n)\) vérifie \(w_0 = 6\) et \(w_{n+1} = 2w_n - 5\). Calcule \(w_1\), \(w_2\), \(w_3\) et \(w_4\).

4 Vrai ou faux : la notation indicée ★★★

Soit \(u_n = 2n + 1\). Dis si chaque affirmation est vraie ou fausse et justifie.

1. \(u_{n+1} = 2n + 3\)
2. \(u_{n+1} = u_n + 1\)
3. \(u_{2n} = 4n + 1\)
4. \(u_n + 1 = 2n + 2\)

5 Nuage de points ★★★

Soit \(u_n = 6 - n\). Le nuage de points ci-dessous représente les termes de \(u_0\) à \(u_6\).

1. Lis sur le graphique \(u_0\), \(u_3\) et \(u_6\).
2. Que peux-tu dire du sens de variation ? Justifie par un calcul.

6 Un bassin qui se remplit ★★★

Un bassin gonflable contient déjà \(80\) litres d’eau. On y verse ensuite \(12\) litres par minute. On note \(a_n\) le volume (en litres) après \(n\) minutes.

1. Exprime \(a_n\) en fonction de \(n\).
2. Au bout de combien de minutes le bassin contient-il au moins \(500\) litres ?

7 Un nombre est-il un terme ? ★★★

Soit \(u_n = 3n + 2\). Les nombres \(101\) et \(150\) sont-ils des termes de la suite ?

8 Variations d’une suite du second degré ★★★

Soit \(u_n = n^2 - 8n + 3\).

1. Calcule \(u_0, u_1, \dots, u_5\).
2. Montre que \(u_{n+1} - u_n = 2n - 7\).
3. Étudie le signe de cette différence et donne le minimum de la suite.

9 Une récurrence qui cache une formule ★★★

Soit \(u_0 = 1\) et \(u_{n+1} = u_n + 2n + 1\).

1. Calcule \(u_1, u_2, u_3, u_4\).
2. Conjecture une formule explicite de \(u_n\), puis vérifie qu’elle respecte la relation de récurrence.
3. Quel est le sens de variation de la suite ?

10 Suite définie par un algorithme ★★★

Voici un algorithme :

u ← 4
pour i allant de 1 à 5 :
    u ← u ÷ 2 + 3
afficher u

On note \(u_0 = 4\) et \(u_{n+1} = \dfrac{u_n}{2} + 3\). Quelle valeur est affichée ? Écris les valeurs successives de \(u\).

11 Une colonie de lucioles ★★★

Une colonie compte \(200\) insectes. Sa population augmente de \(5\) % par an. On note \(u_n\) l’effectif après \(n\) années (calculatrice autorisée).

1. Exprime \(u_{n+1}\) en fonction de \(u_n\).
2. Écris un algorithme qui renvoie le plus petit \(n\) tel que \(u_n > 300\).
3. Donne cette valeur de \(n\).

12 Des abonnés qui vont et viennent ★★★

Une chaîne compte \(1\,000\) abonnés. Chaque mois, elle en perd \(10\) % mais en gagne \(250\) nouveaux. On note \(u_n\) le nombre d’abonnés après \(n\) mois.

1. Justifie que \(u_{n+1} = 0{,}9\,u_n + 250\).
2. Calcule \(u_1\), \(u_2\) et \(u_3\).
3. Montre que \(u_{n+1} - u_n = 250 - 0{,}1\,u_n\) et déduis-en que la suite croît tant que \(u_n < 2500\).

13 Lire un escalier ★★★

Soit \(u_0 = 6\) et \(u_{n+1} = 0{,}6\,u_n + 1{,}2\). On a tracé la courbe de \(f(x) = 0{,}6x + 1{,}2\), la droite \(y = x\) et la ligne en escalier.

1. Calcule \(u_1, u_2, u_3\).
2. Que peux-tu conjecturer sur le sens de variation et sur le comportement des termes ?
3. Détermine l’abscisse du point d’intersection de la courbe et de la droite.

14 Quotient ou différence ? ★★★

1. Montre que \(v_n = 7 \times 0{,}8^n\) est strictement décroissante en comparant \(\dfrac{v_{n+1}}{v_n}\) à \(1\).
2. Calcule \(v_0, v_1, v_2\) pour \(v_n = 7 \times 0{,}8^n\).
3. Soit \(w_n = (-2)^n\). Calcule \(w_0, w_1, w_2, w_3\). Peut-on utiliser la méthode du quotient ? Que dire du sens de variation ?

15 Une suite avec une fraction ★★★

Soit \(u_n = \dfrac{2n+1}{n+3}\).

1. Calcule \(u_0, u_1, u_2\).
2. Montre que \(u_{n+1} - u_n = \dfrac{5}{(n+3)(n+4)}\).
3. Déduis-en le sens de variation de la suite.
4. Montre que \(u_n < 2\) pour tout \(n\).

16 Le bénéfice d’une boulangerie ★★★

Le bénéfice mensuel (en centaines d’euros) d’une petite boulangerie le mois numéro \(n\) est modélisé par \(b_n = -n^2 + 10n - 9\), pour \(n\) de \(0\) à \(12\).

1. Calcule \(b_0\), \(b_1\) et \(b_9\).
2. Montre que \(b_{n+1} - b_n = 9 - 2n\).
3. Étudie les variations de \((b_n)\) et donne le mois où le bénéfice est maximal, ainsi que sa valeur.
4. Pour quels mois le bénéfice est-il strictement positif ?

17 Conjecturer une formule ★★★

Soit \(u_0 = 1\) et \(u_{n+1} = \dfrac{u_n}{1 + u_n}\).

1. Calcule \(u_1, u_2, u_3\).
2. Conjecture une formule pour \(u_n\) et vérifie qu’elle est compatible avec la relation de récurrence.
3. Étudie le sens de variation avec la formule trouvée.

18 Un algorithme de seuil à compléter ★★★

Une cuve de \(100\) litres se vide : chaque heure, il reste \(80\) % du volume de l’heure précédente. On note \(u_n\) le volume (en litres) après \(n\) heures et on utilise :

n ← 0 ; u ← 100
tant que u ≥ 10 :
    u ← 0,8 × u
    n ← n + 1

1. Donne \(u_0\) et la relation entre \(u_{n+1}\) et \(u_n\).
2. Que représente la valeur finale de \(n\) ? Détermine-la (calculatrice autorisée).
3. Quelle est la valeur finale de \(u\), arrondie au centième ?

19 Un réservoir qui se stabilise ★★★

Un réservoir contient \(600\) litres. Chaque jour, \(5\) % de l’eau s’évapore et on ajoute \(40\) litres. Soit \(u_n\) le volume après \(n\) jours.

1. Justifie \(u_{n+1} = 0{,}95\,u_n + 40\) et calcule \(u_1, u_2, u_3\).
2. Montre que si \(u_0 = 800\), la suite est constante.
3. Pour \(u_0 = 600\), montre que si \(u_n < 800\) alors \(u_{n+1} < 800\), puis que \(u_{n+1} - u_n > 0\). Que peux-tu en conclure ?

20 Vrai ou faux avec contre-exemples ★★★

Dis si chaque affirmation est vraie ou fausse, et justifie (démonstration ou contre-exemple).

1. La suite \(u_n = (-1)^n\) n’est pas monotone.
2. Une suite décroissante a tous ses termes négatifs.
3. La suite \(w_n = n^2 - 5n\) est strictement croissante à partir du rang \(3\).
4. Soit \(t_n = -(n - 150)^2\). Comme \(t_{n+1} > t_n\) pour \(n = 0, 1, \dots, 100\), la suite est croissante.