Suites arithmétiques et géométriques : exercices corrigés de maths 1ère à télécharger en PDF

1 Reconnaître le type de suite ★★★

1. Les différences valent toutes \(5\) : arithmétique de raison \(r = 5\).
2. Les quotients valent tous \(2\) : géométrique de raison \(q = 2\).
3. Différences \(2\), \(4\), \(6\) ; quotients \(2\), \(2\), \(\dfrac{14}{8} = 1{,}75\) : ni l’une ni l’autre.
4. Quotients tous égaux à \(\dfrac13\) : géométrique de raison \(q = \dfrac13\).
5. Les différences valent toutes \(-3\) : arithmétique de raison \(r = -3\).

2 Les premiers termes ★★★

a) On ajoute \(9\) à chaque fois : \(u_1 = 26\), \(u_2 = 35\), \(u_3 = 44\).

b) On multiplie par \(2{,}5\) à chaque fois : \(v_1 = 20\), \(v_2 = 50\), \(v_3 = 125\).

3 Terme général arithmétique ★★★

\(u_n = u_0 + nr = -3 + 4n\).

\(u_{10} = -3 + 40 = 37\) et \(u_{50} = -3 + 200 = 197\).

4 Terme général géométrique ★★★

\(v_n = v_0 \times q^n = 5 \times 2^n\).

\(v_6 = 5 \times 64 = 320\) et \(v_{10} = 5 \times 1\,024 = 5\,120\).

5 Sens de variation arithmétique ★★★

a) La raison est \(-3 < 0\) : la suite est décroissante.

b) La raison est \(0{,}5 > 0\) : la suite est croissante.

c) La raison est \(0\) : la suite est constante.

6 Sens de variation géométrique ★★★

a) \(v_0 = 4 > 0\) et \(q = 1{,}2 > 1\) : croissante.

b) \(v_0 > 0\) et \(0 < q = 0{,}7 < 1\) : décroissante.

c) \(q = 2 > 1\) mais \(v_0 = -3 < 0\) : décroissante (\(-3\), \(-6\), \(-12\), …).

d) \(q = -2 < 0\) : les termes alternent (\(6\), \(-12\), \(24\), …), la suite n’est ni croissante ni décroissante.

7 Pourcentages et coefficients ★★★

a) \(1 + 0{,}08 = 1{,}08\) ; \(1 - 0{,}15 = 0{,}85\) ; \(1 - 0{,}40 = 0{,}6\).

b) \(80 \times 1{,}08 = 86{,}4\) : le prix devient \(86{,}40\) €.

8 Retrouver la raison arithmétique ★★★

\(u_9 = u_4 + 5r\), donc \(r = \dfrac{36 - 11}{5} = 5\).

\(u_0 = u_4 - 4r = 11 - 20 = -9\), donc \(u_n = -9 + 5n\).

\(u_{20} = -9 + 100 = 91\).

9 Retrouver la raison géométrique ★★★

\(v_5 = v_2 \times q^3\), donc \(q^3 = \dfrac{486}{18} = 27\) et \(q = 3\).

\(v_0 = \dfrac{v_2}{q^2} = \dfrac{18}{9} = 2\), puis \(v_8 = 2 \times 3^8 = 2 \times 6\,561 = 13\,122\).

10 Un nombre est-il un terme ? ★★★

\(7 + 4n = 207\) équivaut à \(4n = 200\), donc \(n = 50\), qui est un entier : \(207 = u_{50}\) est un terme.

\(7 + 4n = 150\) équivaut à \(n = \dfrac{143}{4} = 35{,}75\), qui n’est pas un entier : \(150\) n’est pas un terme de la suite.

11 Une somme arithmétique ★★★

Ce sont les termes de \(u_n = 5 + 4n\). \(5 + 4n = 97\) donne \(n = 23\) : il y a \(24\) termes (de \(u_0\) à \(u_{23}\)).

\(S = 24 \times \dfrac{5 + 97}{2} = 24 \times 51 = 1\,224\).

12 Une somme géométrique ★★★

C’est \(1 + q + \dots + q^8\) avec \(q = 3\) : \(S = \dfrac{1 - 3^9}{1 - 3} = \dfrac{1 - 19\,683}{-2} = 9\,841\).

13 Deux formules d’abonnement ★★★

1. On ajoute \(18\) chaque mois : \((u_n)\) est arithmétique de premier terme \(u_0 = 35\) et de raison \(18\), donc \(u_n = 35 + 18n\).
2. \(u_{12} = 35 + 216 = 251\) : le coût est de \(251\) €.
3. \(35 + 18n > 400\) équivaut à \(n > \dfrac{365}{18} \approx 20{,}3\). Comme \(u_{20} = 395\) et \(u_{21} = 413\), le coût dépasse \(400\) € au bout de \(21\) mois.

14 Un placement à intérêts composés ★★★

1. Chaque année, le capital est multiplié par \(1 + \dfrac{2{,}5}{100} = 1{,}025\) : \(C_{n+1} = 1{,}025\,C_n\). La suite est géométrique de raison \(1{,}025\) et de premier terme \(3\,200\), donc \(C_n = 3\,200 \times 1{,}025^n\).
2. \(C_8 = 3\,200 \times 1{,}025^8 \approx 3\,898{,}89\) €.

15 Un village qui se vide ★★★

1. La population est multipliée par \(1 - 0{,}03 = 0{,}97\) : \(P_n = 2\,400 \times 0{,}97^n\).
2. \(P_5 = 2\,400 \times 0{,}97^5 \approx 2\,060{,}96\), soit environ \(2\,061\) habitants.
3. \(P_0 > 0\) et \(0 < 0{,}97 < 1\) : la suite est décroissante.

16 Démontrer la nature d’une suite ★★★

a) \(\dfrac{u_{n+1}}{u_n} = \dfrac{7 \times 2^{n+2}}{7 \times 2^{n+1}} = 2\) pour tout \(n\) : la suite est géométrique de raison \(2\), avec \(u_0 = 7 \times 2 = 14\).

b) \(w_0 = 0\), \(w_1 = 3\), \(w_2 = 12\). Alors \(w_1 - w_0 = 3\) et \(w_2 - w_1 = 9\) : les différences ne sont pas égales, donc \((w_n)\) n’est pas arithmétique.

17 Somme avec indices décalés ★★★

De \(u_5\) à \(u_{20}\), il y a \(20 - 5 + 1 = 16\) termes. \(u_5 = 13\) et \(u_{20} = 58\).

\(S = 16 \times \dfrac{13 + 58}{2} = 8 \times 71 = 568\).

18 Doubler son capital ★★★

Le capital vaut \(C_n = 1\,000 \times 1{,}04^n\). On cherche le plus petit \(n\) tel que \(C_n \geqslant 2\,000\).

\(C_{17} \approx 1\,947{,}90 < 2\,000\) et \(C_{18} \approx 2\,025{,}82 \geqslant 2\,000\). Comme la suite est croissante, c’est le plus petit rang qui convient.

Le capital aura doublé au bout de \(18\) ans.

19 Les gradins d’un stade ★★★

Notons \(u_0 = 40\) la première rangée : \((u_n)\) est arithmétique de raison \(6\).

1. La vingtième rangée est \(u_{19} = 40 + 19 \times 6 = 154\) sièges.
2. \(S = 20 \times \dfrac{40 + 154}{2} = 20 \times 97 = 1\,940\) sièges.

20 La balle rebondissante ★★★

1. \((h_n)\) est géométrique de raison \(0{,}6\) : \(h_n = 2 \times 0{,}6^n\). \(h_5 = 2 \times 0{,}07776 = 0{,}15552\) m, soit environ \(15{,}6\) cm.
2. Il faut \(h_n < 0{,}01\). \(h_{10} \approx 0{,}0121 > 0{,}01\) et \(h_{11} \approx 0{,}0073 < 0{,}01\) : à partir du \(11\)^e rebond.
3. Première chute : \(2\) m. Puis elle remonte à \(1{,}2\) m et retombe (\(2{,}4\) m), puis remonte à \(0{,}72\) m et retombe (\(1{,}44\) m) : elle touche alors le sol pour la troisième fois. Distance totale : \(2 + 2{,}4 + 1{,}44 = 5{,}84\) m.

21 Linéaire contre exponentielle ★★★

1. \((a_n)\) est arithmétique de raison \(60\) : \(a_n = 1\,500 + 60n\). \((b_n)\) est géométrique de raison \(1{,}03\) : \(b_n = 1\,500 \times 1{,}03^n\).
2. \(a_{10} = 2\,100\) € et \(b_{10} = 1\,500 \times 1{,}03^{10} \approx 2\,016\) €.
3. Par essais : \(a_{19} = 2\,640\) et \(b_{19} \approx 2\,630{,}26\) ; \(a_{20} = 2\,700\) et \(b_{20} \approx 2\,709{,}17\). L’offre B devient strictement supérieure à partir du \(20\)^e mois.