Variables aléatoires et loi binomiale : corrigé du contrôle de maths Terminale à télécharger en PDF

1 La roue des gains / 4 pts

1. \(0{,}35 + a + 0{,}2 + 0{,}05 = 1\) donc \(a = 0{,}4\). (1 pt)

2. \(E(X) = -1{,}05 + 0 + 0{,}8 + 0{,}5 = 0{,}25\). (1 pt)

3. \(E(X^2) = 9 \times 0{,}35 + 16 \times 0{,}2 + 100 \times 0{,}05 = 3{,}15 + 3{,}2 + 5 = 11{,}35\), \(V(X) = 11{,}35 - 0{,}0625 = 11{,}2875\) (1 pt) et \(\sigma(X) \approx 3{,}36\). (0,5 pt)

4. En jouant très souvent, on gagne en moyenne 0,25 € par partie. (0,5 pt)

2 Réponses au hasard / 4 pts

1. Chaque question est une épreuve de Bernoulli (succès : bonne réponse, \(p = 0{,}25\)), les 12 réponses sont données de façon indépendante : \(X \sim \mathcal{B}(12\,;0{,}25)\). (1 pt)

2. \(P(X=3) = \binom{12}{3} \times 0{,}25^3 \times 0{,}75^9 = 220 \times 0{,}015625 \times 0{,}0750847 \approx 0{,}2581\). (1 pt)

3. \(P(X \geqslant 1) = 1 - 0{,}75^{12} \approx 1 - 0{,}0317 = 0{,}9683\). (1 pt)

4. \(E(X) = 12 \times 0{,}25 = 3\) ; \(V(X) = 12 \times 0{,}25 \times 0{,}75 = 2{,}25\) et \(\sigma(X) = 1{,}5\). (1 pt)

3 Combiner deux variables / 3 pts

\(E(S) = 2 \times 4 + 6 - 1 = 13\). (1 pt)

\(V(X) = 4\). Par indépendance, \(V(S) = 2^2 \times 4 + 9 = 25\) (1 pt) donc \(\sigma(S) = 5\). (0,5 pt)

\(E(T) = 4 - 6 = -2\) (0,25 pt) et \(V(T) = 4 + 9 = 13\). (0,25 pt)

4 Quatre cents lancers / 4 pts

1. \(X \sim \mathcal{B}(400\,;0{,}5)\), \(E(X) = 200\), \(V(X) = 400 \times 0{,}25 = 100\). (1 pt)

2. \(P(|X-200| \geqslant 30) \leqslant \dfrac{100}{900} = \dfrac{1}{9}\). (1 pt)

3. L’événement \(170 < X < 230\) est l’événement contraire de \(|X - 200| \geqslant 30\) : sa probabilité est au moins \(1 - \dfrac{1}{9} = \dfrac{8}{9} \approx 0{,}89\). (1 pt)

4. On veut \(\dfrac{100}{\delta^2} \leqslant 0{,}04\), soit \(\delta^2 \geqslant 2500\) et \(\delta \geqslant 50\) : \(\delta = 50\). (1 pt)

5 Pièces défectueuses / 3 pts

\(X \sim \mathcal{B}(5\,;0{,}1)\).

1. \(P(X=0) = 0{,}9^5 = 0{,}59049 \approx 0{,}5905\). (1 pt)

2. \(P(X=1) = 5 \times 0{,}1 \times 0{,}9^4 = 0{,}32805\), donc \(P(X \leqslant 1) = 0{,}91854 \approx 0{,}9185\). (1 pt)

3. \(P(X \geqslant 2) = 1 - 0{,}91854 = 0{,}08146 \approx 0{,}0815\). (1 pt)

6 Un sondage assez grand / 2 pts

1. \(V(F_n) = \dfrac{0{,}3 \times 0{,}7}{n} = \dfrac{0{,}21}{n}\). (1 pt)

2. \(P(|F_n - 0{,}3| \geqslant 0{,}1) \leqslant \dfrac{0{,}21}{n \times 0{,}01} = \dfrac{21}{n}\). On veut \(\dfrac{21}{n} \leqslant 0{,}05\), soit \(n \geqslant 420\). (1 pt)