Variables aléatoires et loi binomiale : exercices de maths Terminale à télécharger en PDF

1 Compléter une loi ★★★

Une variable aléatoire \(X\) prend les valeurs 0, 1, 2 et 3 avec les probabilités \(0{,}1\) ; \(0{,}4\) ; \(a\) ; \(0{,}2\).

1. Détermine \(a\). 2. Calcule \(E(X)\).

2 La tombola de l’école ★★★

Une tombola vend 200 billets : 1 billet gagne 50 €, 4 billets gagnent 10 €, 15 billets gagnent 2 €, les autres ne gagnent rien. Un billet coûte 1 €. Soit \(X\) le gain brut d’un billet.

1. Donne la loi de \(X\). 2. Calcule \(E(X)\). 3. Le jeu est-il favorable à l’acheteur ?

3 Bernoulli ou pas ? ★★★

Dans chaque cas, dis si l’expérience est une épreuve de Bernoulli. Si oui, donne \(p\).

1. On tire une boule dans une urne contenant 3 boules rouges et 7 vertes ; succès : « la boule est rouge ».
2. On lance un dé équilibré à six faces et on note le numéro obtenu.
3. On lance un dé équilibré ; succès : « obtenir un 6 ».

4 Paramètres d’une binomiale ★★★

On lance 12 fois un dé équilibré. Soit \(X\) le nombre de 6 obtenus.

1. Justifie que \(X\) suit une loi binomiale et donne ses paramètres. 2. Calcule \(E(X)\) et \(V(X)\).

5 Germination ★★★

Dans un pot, on plante 4 graines. Chacune germe avec la probabilité \(0{,}8\), indépendamment des autres. Soit \(X\) le nombre de graines germées.

Calcule \(P(X = 4)\) et \(P(X = 0)\).

6 Changement de variable ★★★

Une variable aléatoire \(X\) vérifie \(E(X) = 12\) et \(V(X) = 4\). On pose \(Y = 3X - 5\).

Calcule \(E(Y)\), \(V(Y)\) et \(\sigma(Y)\).

7 Lire un diagramme ★★★

Le diagramme donne la loi d’une variable \(Y\) (probabilités en pourcentage).

1. Vérifie que c’est bien une loi de probabilité. 2. Calcule \(P(Y \geqslant 3)\). 3. Calcule \(E(Y)\).

8 Deux boules dans une urne ★★★

Une urne contient 4 boules rouges et 6 noires. On tire simultanément 2 boules. Soit \(X\) le nombre de boules rouges tirées.

1. Donne la loi de \(X\). 2. Calcule \(E(X)\) et \(V(X)\).

9 Contrôle qualité ★★★

Un atelier prélève 10 pièces. Chacune est défectueuse avec la probabilité \(0{,}05\), indépendamment des autres. Soit \(X\) le nombre de pièces défectueuses.

Calcule la probabilité d’avoir au moins une pièce défectueuse (arrondie à \(10^{-4}\)).

10 Somme de probabilités ★★★

On lance 8 fois une pièce équilibrée. Soit \(X\) le nombre de piles. Calcule \(P(X \leqslant 2)\).

11 Combien de tentatives ? ★★★

Un joueur réussit un défi avec la probabilité \(0{,}2\) à chaque essai, essais indépendants. Combien d’essais doit-il prévoir au minimum pour que la probabilité de réussir au moins une fois dépasse \(0{,}99\) ?

12 Somme et différence ★★★

Deux variables indépendantes \(X\) et \(Y\) vérifient \(E(X) = 3\), \(V(X) = 1{,}5\), \(E(Y) = 5\), \(V(Y) = 2{,}5\).

Calcule l’espérance, la variance et l’écart type de \(S = X + Y\), puis l’espérance et la variance de \(D = X - Y\).

13 Sans remise : pas binomial ★★★

Une urne contient 5 boules rouges et 5 noires. On tire 3 boules successivement et sans remise. Soit \(X\) le nombre de rouges.

1. Calcule \(P(X = 3)\). 2. Compare avec \(\mathcal{B}(3\,;0{,}5)\) et conclus.

14 Un jeu de dés équitable ★★★

On lance deux dés équilibrés. Si la somme vaut 11 ou 12, on reçoit 15 € ; sinon on ne reçoit rien. Quelle mise rend le jeu équitable (espérance du gain net nulle) ?

15 Pièces défectueuses et Tchebychev ★★★

Une machine produit des pièces dont 3 % sont défectueuses, indépendamment les unes des autres. On prélève 200 pièces ; \(X\) est le nombre de pièces défectueuses.

1. Donne la loi de \(X\), \(E(X)\) et \(V(X)\). 2. Majore \(P(|X - 6| \geqslant 6)\) avec l’inégalité de Bienaymé-Tchebychev.

16 Taille d’un sondage ★★★

On interroge \(n\) personnes choisies au hasard et indépendamment, dont une proportion \(p = 0{,}5\) soutient un projet. Soit \(F_n\) la fréquence des personnes favorables dans l’échantillon.

1. Donne \(E(F_n)\) et \(V(F_n)\). 2. Détermine \(n\) pour que \(P(|F_n - 0{,}5| \geqslant 0{,}05) \leqslant 0{,}05\).

17 Valeur la plus probable ★★★

Soit \(X \sim \mathcal{B}(10\,;0{,}3)\). Pour \(0 \leqslant k \leqslant 9\), on étudie le rapport \(\dfrac{P(X = k+1)}{P(X = k)}\).

1. Montre que ce rapport vaut \(\dfrac{3(10-k)}{7(k+1)}\). 2. Pour quelles valeurs de \(k\) est-il supérieur ou égal à 1 ? 3. En déduire la valeur la plus probable de \(X\) et donne sa probabilité (arrondie à \(10^{-4}\)).

18 Retrouver E et V de la binomiale ★★★

Soit \(X_1, \dots, X_n\) des variables de Bernoulli de paramètre \(p\), indépendantes, et \(X = X_1 + \dots + X_n\).

1. Démontre que \(E(X) = np\) et \(V(X) = np(1-p)\). 2. Application : \(n = 90\) et \(p = \dfrac{1}{3}\).

19 Surréservation en avion ★★★

Une compagnie vend 52 billets pour un vol de 50 places. Chaque passager se présente avec la probabilité \(0{,}95\), indépendamment des autres. Soit \(X\) le nombre de passagers présents.

1. Quelle est la loi de \(X\) et combien de passagers se présentent en moyenne ? 2. Calcule la probabilité qu’au moins un passager se retrouve sans place (arrondie à \(10^{-4}\)).

20 Moyenne de lancers de dé ★★★

On lance \(n\) fois un dé équilibré à six faces. Soit \(X\) le résultat d’un lancer, \(M_n\) la moyenne des \(n\) résultats.

1. Calcule \(E(X)\) et \(V(X)\). 2. Donne \(E(M_n)\) et \(V(M_n)\). 3. Pour \(n = 100\), majore \(P(|M_n - 3{,}5| \geqslant 0{,}5)\). 4. Quelle valeur de \(n\) garantit une majoration par \(0{,}01\) ?