Limites de fonctions : corrigé du contrôle de maths Terminale à télécharger en PDF

1 Limites en l’infini / 4 pts

1. \(-3x^3+2x=x^3\left(-3+\frac{2}{x^2}\right)\) (0,5 pt) avec \(x^3\to+\infty\) et la parenthèse vers \(-3\) : la limite vaut \(-\infty\) (0,5 pt).
2. On divise par \(x^2\) (0,5 pt) : \(\dfrac{4-\frac{1}{x}+\frac{1}{x^2}}{2+\frac{5}{x^2}}\to2\) (1 pt).
3. \(\dfrac{x+5}{x^2+1}=\dfrac{\frac{1}{x}+\frac{5}{x^2}}{1+\frac{1}{x^2}}\) (1 pt) tend vers \(0\) (0,5 pt).

2 Limites en un point et asymptotes / 3 pts

1. En \(4\), le numérateur tend vers \(13>0\). Si \(x\to4^+\), \(x-4\to0^+\) donc \(f\to+\infty\) ; si \(x\to4^-\), \(f\to-\infty\) (1 pt).
2. \(f(x)=\dfrac{3+\frac{1}{x}}{1-\frac{4}{x}}\to3\) en \(\pm\infty\) (1 pt).
3. Asymptote verticale \(x=4\) et asymptote horizontale \(y=3\) (1 pt).

3 Une forme 0/0 / 3 pts

En \(-3\), on obtient \(\frac{0}{0}\) : forme indéterminée (1 pt). On factorise : \(x^2+x-6=(x+3)(x-2)\) (1 pt).

Pour \(x\neq-3\), le quotient vaut \(x-2\), qui tend vers \(-5\) (1 pt).

4 Quantité conjuguée / 3 pts

Forme \(\infty-\infty\). Avec la quantité conjuguée : \(\sqrt{x^2+6x}-x=\dfrac{6x}{\sqrt{x^2+6x}+x}\) (1 pt).

Pour \(x>0\) : \(=\dfrac{6}{\sqrt{1+\frac{6}{x}}+1}\) (1 pt), qui tend vers \(\dfrac{6}{2}=3\) (1 pt).

5 Croissances comparées et composée / 4 pts

1. Par croissances comparées, \(\displaystyle\lim_{x\to+\infty}x^3e^{-x}=0\) (1,5 pt).
2. \(-x^2+5x=x(5-x)\to-\infty\) (1 pt) et \(e^{y}\to0\) quand \(y\to-\infty\) : la limite vaut \(0\) (0,5 pt).
3. Résultat du cours sur \(x^n\ln x\) avec \(n=2\) : la limite vaut \(0\) (1 pt).

6 Comparaison et gendarmes / 3 pts

1. Comme \(\cos x\geqslant-1\), \(f(x)\geqslant5x-2\) (1 pt). Or \(5x-2\to+\infty\), donc par comparaison \(f\to+\infty\) (1 pt).
2. Pour \(x>0\), \(\dfrac{5x-2}{x^2}\leqslant\dfrac{f(x)}{x^2}\leqslant\dfrac{5x+2}{x^2}\). Les deux bornes valent \(\dfrac{5}{x}\mp\dfrac{2}{x^2}\) et tendent vers \(0\) ; d’après le théorème des gendarmes, \(\dfrac{f(x)}{x^2}\to0\) (1 pt).