Limites de fonctions : exercices corrigés de maths Terminale à télécharger en PDF

1 Limites de référence ★★★

a) \(+\infty\). b) \(0\). c) \(+\infty\). d) \(e^{-x}=\dfrac{1}{e^x}\) et \(e^x\to+\infty\), donc la limite vaut \(0\).

2 Vrai ou faux ★★★

1. Faux : un carré est positif, et \(\displaystyle\lim_{x\to-\infty}x^2=+\infty\).
2. Vrai : \(|x|\) devient très grand, donc \(\frac{1}{x}\) se rapproche de \(0\).
3. Vrai : \(x\) est petit et positif, donc \(\frac{1}{x}\) est très grand et positif.
4. Faux : \(e^x\) tend vers \(+\infty\) ; c’est en \(-\infty\) que la limite vaut \(0\).

3 Polynômes en l’infini ★★★

1. On factorise le terme dominant : \(4x^3-5x^2+2=x^3\left(4-\frac{5}{x}+\frac{2}{x^3}\right)\). La parenthèse tend vers \(4\) et \(x^3\to+\infty\), donc la limite vaut \(+\infty\).
2. \(-2x^2+7x=x^2\left(-2+\frac{7}{x}\right)\) : la parenthèse tend vers \(-2\), \(x^2\to+\infty\), donc la limite vaut \(-\infty\).

4 Quotients en +∞ ★★★

1. Le dénominateur tend vers \(+\infty\), donc le quotient tend vers \(0\).
2. On divise numérateur et dénominateur par \(x^2\) : \(\dfrac{6-\frac{1}{x^2}}{3+\frac{2}{x^2}}\to\dfrac{6}{3}=2\).

5 Lecture graphique ★★★

1. La courbe monte le long de la droite \(x=2\) des deux côtés : les deux limites valent \(+\infty\).
2. La courbe se rapproche de la droite \(y=1\) à droite et à gauche : les deux limites valent \(1\).
3. Asymptote verticale \(x=2\) ; asymptote horizontale \(y=1\) (en \(+\infty\) et en \(-\infty\)).

6 Limites en un point ★★★

1. \(x-2\to0^+\), donc la limite vaut \(+\infty\).
2. \(x-2\to0^-\), donc la limite vaut \(-\infty\).
3. C’est un polynôme : on remplace, \(2-3+5=4\).

7 Deux asymptotes ★★★

En \(+\infty\) : \(f(x)=\dfrac{4-\frac{3}{x}}{1+\frac{2}{x}}\to4\). En \(-2^+\) : le numérateur tend vers \(4\times(-2)-3=-11<0\) et \(x+2\to0^+\), donc \(\displaystyle\lim_{x\to-2^+}f(x)=-\infty\).

La courbe admet l’asymptote horizontale \(y=4\) et l’asymptote verticale \(x=-2\).

8 Un polynôme de degré 3 ★★★

Sans transformation, on obtient \(+\infty-\infty\) en \(+\infty\) : forme indéterminée. On factorise : \(f(x)=x^3\left(1-\frac{6}{x}\right)\).

En \(+\infty\) : \(x^3\to+\infty\) et la parenthèse tend vers \(1\), donc \(f\to+\infty\). En \(-\infty\) : \(x^3\to-\infty\) et la parenthèse tend vers \(1\), donc \(f\to-\infty\).

9 Degrés différents ★★★

1. On factorise : \(\dfrac{x^2(2+\frac{3}{x^2})}{x^3(1-\frac{1}{x^3})}=\dfrac{1}{x}\times\dfrac{2+\frac{3}{x^2}}{1-\frac{1}{x^3}}\). Le premier facteur tend vers \(0\), le second vers \(2\) : la limite vaut \(0\).
2. \(\dfrac{x^3(5-\frac{1}{x^2})}{x^2(1+\frac{4}{x^2})}=x\times\dfrac{5-\frac{1}{x^2}}{1+\frac{4}{x^2}}\). Le facteur \(x\) tend vers \(+\infty\), la fraction vers \(5\) : la limite vaut \(+\infty\).

10 Une forme 0/0 ★★★

En \(2\), numérateur et dénominateur tendent vers \(0\) : forme indéterminée. On factorise : \(x^2-4=(x-2)(x+2)\) et \(x^2-x-2=(x-2)(x+1)\).

Pour \(x\neq2\), le quotient vaut \(\dfrac{x+2}{x+1}\), qui tend vers \(\dfrac{4}{3}\). La limite vaut donc \(\dfrac{4}{3}\).

11 Quantité conjuguée ★★★

Forme \(\infty-\infty\). On multiplie par la quantité conjuguée : \(\sqrt{x^2+3x}-x=\dfrac{3x}{\sqrt{x^2+3x}+x}\).

Pour \(x>0\), on divise par \(x\) : \(\dfrac{3}{\sqrt{1+\frac{3}{x}}+1}\to\dfrac{3}{2}\). La limite vaut \(\dfrac{3}{2}\).

12 Croissances comparées ★★★

Ce sont les résultats de croissances comparées : a) \(+\infty\) ; b) \(0\) ; c) \(0\) ; d) \(0\).

Pour a), l’exponentielle l’emporte sur toute puissance ; pour b), c’est la puissance qui l’emporte sur le logarithme ; c) et d) sont les deux autres limites du cours.

13 Comparaison ★★★

1. Comme \(\cos x\geqslant-1\), on a \(x+\cos x\geqslant x-1\). Or \(x-1\to+\infty\) : par comparaison, la limite vaut \(+\infty\).
2. Pour \(x>0\), \(-\dfrac{1}{x^2}\leqslant\dfrac{\sin x}{x^2}\leqslant\dfrac{1}{x^2}\). Les deux bornes tendent vers \(0\) : d’après le théorème des gendarmes, la limite vaut \(0\).

14 Composées ★★★

1. \(-x^2+3x=x(3-x)\to-\infty\) et \(e^{y}\to0\) quand \(y\to-\infty\) : la limite vaut \(0\).
2. \(1+\frac{1}{x}\to1\) et \(\ln y\to\ln1=0\) quand \(y\to1\) : la limite vaut \(0\).
3. \(4+\frac{1}{x}\to4\) et la racine est continue en \(4\) : la limite vaut \(2\).

15 Une tasse de thé ★★★

1. \(T(0)=20+65=85\) °C. Comme \(-0{,}1t\to-\infty\), \(e^{-0{,}1t}\to0\) donc \(T(t)\to20\). Le thé refroidit jusqu’à la température de la pièce, \(20\) °C.
2. La droite \(y=20\) est asymptote horizontale à la courbe en \(+\infty\).
3. \(T(t)<21\iff65e^{-0{,}1t}<1\iff e^{-0{,}1t}<\dfrac{1}{65}\iff-0{,}1t<-\ln65\iff t>10\ln65\approx41{,}74\). La température passe sous \(21\) °C à partir de la minute \(42\).

16 Un étang de poissons ★★★

1. \(P(0)=\dfrac{800}{1+3}=200\). Comme \(e^{-0{,}5t}\to0\), le dénominateur tend vers \(1\) et \(P(t)\to800\).
2. Pour tout \(t\), \(1+3e^{-0{,}5t}>1\), donc \(\dfrac{800}{1+3e^{-0{,}5t}}<800\). La capacité de l’étang n’est jamais atteinte, mais on s’en approche : \(y=800\) est une asymptote.
3. \(P(t)\geqslant790\iff1+3e^{-0{,}5t}\leqslant\dfrac{80}{79}\iff e^{-0{,}5t}\leqslant\dfrac{1}{237}\iff t\geqslant2\ln237\approx10{,}94\). L’étang compte au moins \(790\) poissons à partir de l’année \(11\) (\(P(10)\approx784\), \(P(11)\approx790{,}3\)).

17 Étude complète d’une fraction ★★★

1. \(f(x)=\dfrac{x^2(2+\frac{1}{x})}{x^2(1-\frac{4}{x^2})}=\dfrac{2+\frac{1}{x}}{1-\frac{4}{x^2}}\to2\) en \(+\infty\) comme en \(-\infty\).
2. En \(2\) : numérateur \(\to10>0\), dénominateur \((x-2)(x+2)\) a le signe de \(x-2\) puisque \(x+2\to4\). Donc \(\displaystyle\lim_{x\to2^+}f=+\infty\) et \(\displaystyle\lim_{x\to2^-}f=-\infty\). En \(-2\) : numérateur \(\to6>0\), dénominateur \((x-2)(x+2)\) avec \(x-2\to-4\), donc de signe contraire à \(x+2\). Ainsi \(\displaystyle\lim_{x\to-2^+}f=-\infty\) et \(\displaystyle\lim_{x\to-2^-}f=+\infty\).
3. La courbe a l’asymptote horizontale \(y=2\) et deux asymptotes verticales \(x=2\) et \(x=-2\).

18 Gendarmes et fraction ★★★

Pour tout \(x\), \(-1\leqslant\sin(5x)\leqslant1\), donc, comme \(x^2+1>0\) : \(\dfrac{3x^2-1}{x^2+1}\leqslant f(x)\leqslant\dfrac{3x^2+1}{x^2+1}\).

On a \(\dfrac{3x^2-1}{x^2+1}=\dfrac{3-\frac{1}{x^2}}{1+\frac{1}{x^2}}\to3\) et de même \(\dfrac{3x^2+1}{x^2+1}\to3\). D’après le théorème des gendarmes, \(\displaystyle\lim_{x\to+\infty}f(x)=3\).

19 Racine et limite en −∞ ★★★

Forme \(+\infty-\infty\). Conjugué : \(\sqrt{x^2+x+1}+x=\dfrac{x+1}{\sqrt{x^2+x+1}-x}\).

Pour \(x<0\), \(\sqrt{x^2+x+1}=|x|\sqrt{1+\frac{1}{x}+\frac{1}{x^2}}=-x\sqrt{1+\frac{1}{x}+\frac{1}{x^2}}\). Le dénominateur vaut \(-x\left(\sqrt{1+\frac{1}{x}+\frac{1}{x^2}}+1\right)\).

Donc l’expression vaut \(-\dfrac{1+\frac{1}{x}}{\sqrt{1+\frac{1}{x}+\frac{1}{x^2}}+1}\), qui tend vers \(-\dfrac{1}{2}\).

20 Changement de variable ★★★

1. Avec \(X=\sqrt{x}\to+\infty\), \(x\,e^{-\sqrt{x}}=X^2e^{-X}\to0\) par croissances comparées.
2. \(\frac{1}{x}\to+\infty\), donc \(-\frac{1}{x}\to-\infty\) et \(e^{-1/x}\to0\).
3. Avec \(X=\frac{1}{x}\to+\infty\), \(x\,e^{1/x}=\dfrac{e^{X}}{X}\to+\infty\) par croissances comparées.