Calcul intégral : corrigé du contrôle de maths Terminale à télécharger en PDF

1 Calculs d’intégrales / 4 pts

1. \(A = \Big[\dfrac{x^4}{4} - x^2 + x\Big]_0^2 = 4 - 4 + 2 = 2\). (1,5 pt)
2. \(B = \Big[\dfrac{\mathrm{e}^{3x}}{3}\Big]_0^1 = \dfrac{\mathrm{e}^3 - 1}{3}\). (1 pt)
3. \(C = \Big[2\ln x - \dfrac{1}{x}\Big]_1^2 = \left(2\ln 2 - \dfrac{1}{2}\right) - (0 - 1) = 2\ln 2 + \dfrac{1}{2}\). (1,5 pt)

2 Chasles et linéarité / 3 pts

1. Chasles : \(4 + (-1) = 3\). (1 pt)
2. \(\int_7^3 f = -\int_3^7 f = 1\). (1 pt)
3. Linéarité : \(2 \times 4 + \int_0^3 1\,\mathrm{d}x = 8 + 3 = 11\). (1 pt)

3 Encadrement / 3 pts

1. Pour \(x \in [0\,;\,1]\), \(1 \leqslant 1 + x \leqslant 2\), donc \(\dfrac{1}{2} \leqslant \dfrac{1}{1+x} \leqslant 1\). (1 pt)
2. Par croissance, avec une longueur d’intervalle de \(1\) : \(\dfrac{1}{2} \leqslant \int_0^1 h \leqslant 1\). (1 pt)
3. \(\int_0^1 h = \Big[\ln(1+x)\Big]_0^1 = \ln 2 \approx 0{,}693\), qui est bien dans \([0{,}5\,;\,1]\). (1 pt)

4 Valeur moyenne / 3 pts

\(\int_1^4 f = \Big[\dfrac{x^3}{3} - x^2 + 3x\Big]_1^4 = \left(\dfrac{64}{3} - 16 + 12\right) - \left(\dfrac{1}{3} - 1 + 3\right) = \dfrac{52}{3} - \dfrac{7}{3} = 15\). (2 pts)

\(\mu = \dfrac{15}{4 - 1} = 5\). (1 pt)

5 Intégration par parties / 4 pts

On pose \(u^{\prime}(x) = \cos x\) et \(v(x) = x\), donc \(u(x) = \sin x\) et \(v^{\prime}(x) = 1\). (1 pt)

\(P = \Big[x\sin x\Big]_0^{\pi/2} - \int_0^{\pi/2}\sin x\,\mathrm{d}x\). (1 pt)

\(\Big[x\sin x\Big]_0^{\pi/2} = \dfrac{\pi}{2}\) et \(\int_0^{\pi/2}\sin x\,\mathrm{d}x = \Big[-\cos x\Big]_0^{\pi/2} = 1\). (1 pt)

Donc \(P = \dfrac{\pi}{2} - 1 \approx 0{,}57\). (1 pt)

6 Aire entre une parabole et une droite / 3 pts

1. \(-x^2 + 4 = x + 2 \iff x^2 + x - 2 = 0\), de racines \(x = -2\) et \(x = 1\). (1 pt)
2. \(\mathcal{A} = \int_{-2}^{1}(-x^2 - x + 2)\,\mathrm{d}x = \Big[-\dfrac{x^3}{3} - \dfrac{x^2}{2} + 2x\Big]_{-2}^{1} = \dfrac{7}{6} - \left(-\dfrac{10}{3}\right) = \dfrac{9}{2}\) u.a. (1,5 pt) L’aire est de \(4{,}5\text{ cm}^2\). (0,5 pt)