Séries numériques : exercices corrigés de maths Maths Spé à télécharger en PDF

1 Un télescopage simple ★★★

1. \( \dfrac12\left(\dfrac1n-\dfrac1{n+2}\right)=\dfrac12\cdot\dfrac{(n+2)-n}{n(n+2)}=\dfrac{1}{n(n+2)} \).
2. Les termes se compensent de deux en deux : \( S_N=\dfrac12\left(1+\dfrac12-\dfrac1{N+1}-\dfrac1{N+2}\right) \).
3. Quand \( N\to+\infty \), \( S_N\to\dfrac12\cdot\dfrac32=\dfrac34 \). La série converge et sa somme vaut \( \dfrac34 \).

2 Sommes géométriques ★★★

a) \( |q|=\frac25\lt1 \) : somme \( =3\cdot\dfrac{1}{1-2/5}=3\cdot\dfrac53=5 \).

b) \( q=-\frac13 \), premier terme \( q^2=\frac19 \) : somme \( =\dfrac{1/9}{1+1/3}=\dfrac{1/9}{4/3}=\dfrac1{12} \).

c) \( q=\frac76\gt1 \) : la série diverge (grossièrement).

3 Divergence grossière ou non ? ★★★

a) \( \dfrac{n}{2n+1}\to\dfrac12\neq0 \) : divergence grossière.

b) \( \left(1+\frac1n\right)^n\to e\neq0 \) : divergence grossière.

c) \( \frac1{n^2}\to0 \) : on ne peut pas conclure ainsi. Par Riemann (\( \alpha=2\gt1 \)) la série converge.

4 Séries de Riemann ★★★

a) \( n\sqrt n=n^{3/2} \), \( \alpha=\frac32\gt1 \) : converge.

b) \( \alpha=\frac13\leq1 \) : diverge.

c) \( \alpha=1{,}01\gt1 \) : converge.

d) \( \alpha=0{,}99\leq1 \) : diverge.

5 Sommes exponentielles ★★★

On utilise \( \sum_{n\geq0}x^n/n!=e^x \).

a) \( x=2 \) : \( e^2 \).

b) \( x=3 \), sans le terme \( n=0 \) qui vaut \( 1 \) : \( e^3-1 \).

c) \( x=-1 \) : \( e^{-1}=\dfrac1e \).

d) \( x=1 \), on retire les termes \( 1 \) et \( 1 \) pour \( n=0,1 \) : \( e-2 \).

6 Vrai ou faux ? ★★★

1. Faux : \( u_n=1/n\to0 \) mais \( \sum1/n \) diverge.
2. Vrai : la convergence absolue entraîne la convergence.
3. Vrai : \( u_n\to0 \), donc \( (u_n) \) converge, donc est bornée.
4. Faux : avec \( u_n=1 \) et \( v_n=-1 \), les deux séries divergent mais \( \sum(u_n+v_n)=\sum0 \) converge.

7 Utiliser un équivalent ★★★

Ces termes sont positifs, on peut utiliser les équivalents.

a) \( \sim\dfrac1{n^2} \) : converge.

b) \( \sim\dfrac3n \) : diverge.

c) \( \sin u\sim u \) donc \( \sim\dfrac1{n^2} \) : converge.

d) \( 1-\cos u\sim\dfrac{u^2}2 \) donc \( \sim\dfrac{1}{2n^2} \) : converge.

8 Télescopage avec des logarithmes ★★★

a) \( \ln\left(1+\frac1n\right)=\ln(n+1)-\ln n \) donc \( S_N=\ln(N+1)\to+\infty \) : la série diverge.

b) \( 1-\frac1{n^2}=\dfrac{(n-1)(n+1)}{n^2} \), donc \( S_N=\ln\prod_{n=2}^N\dfrac{n-1}{n}\cdot\dfrac{n+1}{n}=\ln\left(\dfrac1N\cdot\dfrac{N+1}{2}\right)=\ln\dfrac{N+1}{2N} \). Quand \( N\to+\infty \), \( S_N\to\ln\dfrac12=-\ln2 \).

9 Absolue ou semi-convergence ★★★

a) \( \left|\frac{(-1)^n}{n^2}\right|=\frac1{n^2} \), série de Riemann convergente : convergence absolue, donc convergence.

b) Posons \( a_n=\dfrac{n}{n^2+1}=f(n) \) avec \( f(x)=\dfrac{x}{x^2+1} \). Alors \( f^{\prime}(x)=\dfrac{1-x^2}{(x^2+1)^2}\leq0 \) pour \( x\geq1 \) : \( (a_n) \) décroît, et \( a_n\to0 \). Le critère des séries alternées donne la convergence. Mais \( n^2+1\leq2n^2 \) donne \( a_n\geq\dfrac1{2n} \), terme d’une série divergente : pas de convergence absolue. La série est semi-convergente.

10 Précision d’une somme alternée ★★★

La suite \( a_n=\dfrac1{2n+1} \) est décroissante, de limite \( 0 \) : le critère s’applique et \( |R_N|\leq a_{N+1}=\dfrac1{2N+3} \).

On veut \( \dfrac1{2N+3}\lt0{,}005 \), soit \( 2N+3\gt200 \), soit \( N\gt98{,}5 \). Le plus petit entier convenable est \( N=99 \) (pour \( N=98 \), la majoration vaut \( \frac1{199}\gt0{,}005 \)).

11 Comparaisons ★★★

a) \( 0\leq\dfrac{2+\sin n}{n^2}\leq\dfrac3{n^2} \) : converge par comparaison à Riemann.

b) On a \( \ln n\leq\sqrt n \) pour tout \( n\geq1 \), donc \( 0\leq\dfrac{\ln n}{n^2}\leq\dfrac1{n^{3/2}} \) : converge.

c) Pour \( n\geq3 \), \( \ln n\geq1 \) donc \( \dfrac{\ln n}{n}\geq\dfrac1n \) : diverge par comparaison avec la série harmonique.

12 Encadrer un reste ★★★

1. La fonction \( f(t)=1/t^2 \) est positive, continue, décroissante. Donc \( \displaystyle\int_{n+1}^{+\infty}\dfrac{dt}{t^2}\leq R_n\leq\int_n^{+\infty}\dfrac{dt}{t^2} \), soit \( \dfrac1{n+1}\leq R_n\leq\dfrac1n \).
2. Pour \( n=10 \) : \( \dfrac1{11}\leq R_{10}\leq\dfrac1{10} \) et la somme vaut \( S_{10}+R_{10} \). Donc \( 1{,}6406\leq\sum_{k\geq1}\dfrac1{k^2}\leq1{,}6498 \).

13 Produit de Cauchy et exponentielles ★★★

a) \( w_n=\sum_{k=0}^n\dfrac1{k!}\cdot\dfrac{3^{n-k}}{(n-k)!}=\dfrac1{n!}\sum_{k=0}^n\binom nk3^{n-k}=\dfrac{(1+3)^n}{n!}=\dfrac{4^n}{n!} \).

b) Les deux séries convergent absolument (termes positifs). Le théorème donne \( \sum_{n\geq0}\dfrac{4^n}{n!}=e\cdot e^3=e^4 \), ce qui est cohérent avec \( \sum x^n/n!=e^x \).

14 Une somme avec un coefficient ★★★

Posons \( u_n=v_n=\left(\frac13\right)^n \), absolument convergentes. Alors \( w_n=\sum_{k=0}^n\left(\frac13\right)^k\left(\frac13\right)^{n-k}=(n+1)\left(\frac13\right)^n \). Ainsi \( \sum_{n\geq0}\dfrac{n+1}{3^n}=\left(\dfrac1{1-1/3}\right)^2=\left(\dfrac32\right)^2=\dfrac94 \).

15 Temps d’attente à un jeu ★★★

Le produit de Cauchy de \( \sum q^n \) par elle-même donne, pour \( |q|\lt1 \), \( \sum_{n\geq0}(n+1)q^n=\dfrac1{(1-q)^2} \). En décalant l’indice, \( \sum_{n\geq1}nq^{n-1}=\dfrac1{(1-q)^2} \).

Donc \( E(N)=p\cdot\dfrac{1}{(1-q)^2}=\dfrac15\cdot\dfrac{1}{(1/5)^2}=\dfrac15\cdot25=5 \). Il faut en moyenne cinq tirages pour gagner.

16 Une série alternée piège ★★★

1. On a \( u_n=\dfrac{\varepsilon_n}{1+\varepsilon_n} \). Or \( \varepsilon-\varepsilon^2+\dfrac{\varepsilon^3}{1+\varepsilon}=\dfrac{(\varepsilon-\varepsilon^2)(1+\varepsilon)+\varepsilon^3}{1+\varepsilon}=\dfrac{\varepsilon}{1+\varepsilon} \), et \( \varepsilon_n^2=\frac1n \).
2. \( |\varepsilon_n|^3=n^{-3/2} \) et \( 1+\varepsilon_n\to1 \) donc \( \left|\dfrac{\varepsilon_n^3}{1+\varepsilon_n}\right|\sim n^{-3/2} \) : Riemann convergente.
3. \( \sum\varepsilon_n \) converge (critère des séries alternées), \( \sum\frac1n \) diverge. Donc \( \sum u_n \) est la somme d’une série convergente, d’une série divergente et d’une série convergente : elle diverge. L’équivalent \( u_n\sim\varepsilon_n \) est vrai mais ne dit rien, car les termes changent de signe.

17 Séries de Bertrand ★★★

a) \( f(t)=\dfrac1{t\ln t} \) est positive et décroissante sur \( [2,+\infty[ \). Donc \( \sum_{n=2}^Nf(n)\geq\int_2^{N+1}f=\ln\ln(N+1)-\ln\ln2\to+\infty \) : la série diverge.

b) \( g(t)=\dfrac1{t\ln^2t} \) est positive et décroissante, de primitive \( -\dfrac1{\ln t} \). Pour \( n\geq3 \), \( g(n)\leq\int_{n-1}^ng \), donc \( \sum_{n=3}^Ng(n)\leq\int_2^Ng=\dfrac1{\ln2}-\dfrac1{\ln N}\leq\dfrac1{\ln2} \). Les sommes partielles sont majorées, la série est positive : elle converge.

18 Sommer des équivalents ★★★

a) \( \dfrac1{k+\sqrt k}\sim\dfrac1k \), termes positifs, \( \sum\frac1k \) diverge : les sommes partielles sont équivalentes, \( \sum_{k\leq N}\dfrac1{k+\sqrt k}\sim H_N \). Or \( \ln(N+1)\leq H_N\leq1+\ln N \) donne \( H_N\sim\ln N \).

b) \( \dfrac1{k(k+1)}=\dfrac1k-\dfrac1{k+1} \), donc \( \sum_{k\gt N}\dfrac1{k(k+1)}=\dfrac1{N+1}\sim\dfrac1N \). Comme \( \dfrac1{k(k+1)}\sim\dfrac1{k^2} \) et les séries convergent, les restes sont équivalents : \( \sum_{k\gt N}\dfrac1{k^2}\sim\dfrac1N \).

19 Un produit de Cauchy divergent ★★★

1. \( u_ku_{n-k}=\dfrac{(-1)^k(-1)^{n-k}}{\sqrt{(k+1)(n-k+1)}}=\dfrac{(-1)^n}{\sqrt{(k+1)(n-k+1)}} \), donc \( w_n=(-1)^n\sum_k\dfrac1{\sqrt{(k+1)(n-k+1)}} \).
2. Par l’inégalité arithmético-géométrique, \( \sqrt{(k+1)(n-k+1)}\leq\dfrac{(k+1)+(n-k+1)}2=\dfrac{n+2}2 \). Chacun des \( n+1 \) termes est donc \( \geq\dfrac2{n+2} \).
3. \( |w_n|\geq\dfrac{2(n+1)}{n+2}\to2 \) : \( w_n\not\to0 \), le produit de Cauchy diverge grossièrement. La série \( \sum u_n \) est semi-convergente, non absolument convergente : l’hypothèse de convergence absolue est en défaut.

20 La constante d’Euler ★★★

1. Avec \( x=\frac1n \) : \( \dfrac1n-\dfrac1{2n^2}\leq\ln\left(1+\dfrac1n\right)\leq\dfrac1n \), d’où \( 0\leq u_n\leq\dfrac1{2n^2} \).
2. \( \sum_{n=1}^N\ln\left(1+\frac1n\right)=\ln(N+1) \) (télescopage), donc \( \sum_{n=1}^Nu_n=H_N-\ln(N+1) \). La série \( \sum u_n \) est positive et majorée par \( \sum\frac1{2n^2} \) : elle converge. Comme \( \ln(N+1)-\ln N=\ln\left(1+\frac1N\right)\to0 \), \( H_N-\ln N \) converge vers la même somme \( \gamma=\sum_{n\geq1}u_n \).
3. \( \gamma\geq u_1\approx0{,}3069 \) et \( \gamma\leq u_1+\dfrac12\sum_{n\geq2}\dfrac1{n^2}\leq u_1+\dfrac12 \) (car \( \sum_{n\geq2}\frac1{n^2}\leq1 \)). Donc \( 0{,}30\leq\gamma\leq0{,}81 \) ; la figure suggère \( \gamma\approx0{,}577 \).

21 Une série avec paramètre ★★★

\( \sqrt{n+1}-\sqrt n=\dfrac1{\sqrt{n+1}+\sqrt n}\sim\dfrac1{2\sqrt n} \). Pour \( \alpha \) fixé, on peut élever l’équivalent à la puissance \( \alpha \) : \( u_n\sim2^{-\alpha}n^{-\alpha/2} \), terme positif.

Par comparaison à Riemann, la série converge si et seulement si \( \dfrac\alpha2\gt1 \), c’est-à-dire \( \alpha\gt2 \).

22 Séries de Riemann alternées ★★★

Cas \( \alpha\gt1 \) : \( \sum\frac1{n^{\alpha}} \) converge, donc convergence absolue.

Cas \( 0\lt\alpha\leq1 \) : \( a_n=n^{-\alpha} \) décroît vers \( 0 \), donc la série converge (critère des séries alternées) ; mais \( \sum n^{-\alpha} \) diverge : semi-convergence.

Cas \( \alpha\leq0 \) : \( |u_n|=n^{-\alpha}\geq1 \), le terme général ne tend pas vers \( 0 \) : divergence grossière.