Espaces euclidiens : exercices de maths Maths Spé à télécharger en PDF

1 Produit scalaire canonique dans \(\mathbb{R}^4\) ★★★

Dans \(\mathbb{R}^4\) muni du produit scalaire canonique, on pose \(x=(1,-2,3,0)\) et \(y=(4,1,-1,2)\).

1. Calculer \(\langle x,y\rangle\), \(\|x\|\) et \(\|y\|\).
2. Vérifier l’inégalité de Cauchy-Schwarz.

2 Est-ce un produit scalaire ? ★★★

Dire, en justifiant, si chaque application est un produit scalaire.

1. Sur \(\mathbb{R}^2\) : \(\varphi(x,y)=x_1y_1-x_2y_2\).
2. Sur \(\mathbb{R}^2\) : \(\psi(x,y)=x_1y_1+2x_2y_2+x_1y_2+x_2y_1\).
3. Sur \(\mathbb{R}_2[X]\) : \(\chi(P,Q)=P(0)Q(0)+P(1)Q(1)\).

3 Une base orthonormée de \(\mathbb{R}^3\) ★★★

On pose \(u_1=\tfrac13(1,2,2)\), \(u_2=\tfrac13(2,1,-2)\), \(u_3=\tfrac13(2,-2,1)\).

1. Montrer que \((u_1,u_2,u_3)\) est une base orthonormée de \(\mathbb{R}^3\).
2. Donner les coordonnées de \(x=(3,0,6)\) dans cette base, puis vérifier l’égalité de Parseval.

4 Matrice orthogonale ou non ? ★★★

Les matrices \(A=\dfrac1{13}\begin{pmatrix}5&-12\\12&5\end{pmatrix}\) et \(B=\begin{pmatrix}1&2\\2&1\end{pmatrix}\) sont-elles orthogonales ? Si oui, préciser la nature de l’isométrie associée.

5 Projeter sur une droite ★★★

Dans \(\mathbb{R}^2\) canonique, soit \(D=\operatorname{Vect}((1,2))\) et \(x=(3,4)\). Calculer le projeté orthogonal de \(x\) sur \(D\) et la distance de \(x\) à \(D\).

6 Diagonaliser une matrice symétrique \(2\times2\) ★★★

Soit \(A=\begin{pmatrix}3&1\\1&3\end{pmatrix}\). Déterminer ses valeurs propres et une base orthonormée de vecteurs propres, puis écrire \(A=PDP^{T}\).

7 Pythagore et parallélogramme ★★★

Dans un espace euclidien, \(\|x\|=3\), \(\|y\|=4\) et \(\langle x,y\rangle=-2\). Calculer \(\|x+y\|^2\) et \(\|x-y\|^2\), vérifier l’identité du parallélogramme, puis dire si \(x\) et \(y\) sont orthogonaux.

8 Gram-Schmidt dans \(\mathbb{R}^3\) ★★★

Orthonormaliser par le procédé de Gram-Schmidt la famille \(v_1=(1,2,0)\), \(v_2=(1,1,1)\), \(v_3=(0,1,2)\) de \(\mathbb{R}^3\) canonique.

9 Distance à un plan de \(\mathbb{R}^4\) ★★★

Dans \(\mathbb{R}^4\) canonique, soit \(a=(1,1,1,0)\), \(b=(1,-1,0,1)\), \(F=\operatorname{Vect}(a,b)\) et \(x=(2,3,1,5)\).

1. Vérifier que \(a\perp b\).
2. Calculer \(p_F(x)\) puis \(d(x,F)\).

10 Polynômes orthogonaux sur \([-1,1]\) ★★★

Sur \(\mathbb{R}_3[X]\), on pose \(\langle P,Q\rangle=\int_{-1}^{1}P(t)Q(t)\,dt\).

1. Montrer que \(1\), \(X\) et \(X^2-\tfrac13\) sont deux à deux orthogonaux et calculer leurs normes au carré.
2. Déterminer le projeté orthogonal de \(X^3\) sur \(\mathbb{R}_2[X]\) et la distance de \(X^3\) à \(\mathbb{R}_2[X]\).

11 Matrice d’une projection orthogonale ★★★

Dans \(\mathbb{R}^3\) canonique, soit \(u=(1,2,2)\) et \(p\) la projection orthogonale sur \(D=\operatorname{Vect}(u)\).

1. Écrire la matrice \(P\) de \(p\) dans la base canonique.
2. Vérifier que \(P^2=P\), \(P^{T}=P\), \(\operatorname{tr}P=1\).
3. Calculer \(p(9,0,0)\) et la distance de \((9,0,0)\) à \(D\).

12 Un demi-tour dans l’espace ★★★

Avec les notations de l’exercice précédent, on pose \(S=2P-I_3\) (symétrie orthogonale par rapport à \(D\)).

1. Calculer \(S\) et montrer qu’elle est orthogonale.
2. Déterminer son déterminant et sa nature géométrique.

13 Une isométrie à coefficients rationnels ★★★

Soit \(M=\dfrac13\begin{pmatrix}2&-2&1\\1&2&2\\2&1&-2\end{pmatrix}\). Montrer que \(M\) est orthogonale, calculer son déterminant et en déduire \(M^{-1}\).

14 Réflexion du plan ★★★

Dans le plan, soit \(\Delta\) la droite d’équation \(y=\sqrt3\,x\), dirigée par \(d=(\tfrac12,\tfrac{\sqrt3}2)\) (angle \(\tfrac\pi3\)). Écrire la matrice de la réflexion \(s\) par rapport à \(\Delta\) et calculer l’image de \(x=(2,0)\).

15 Puissances d’une matrice symétrique ★★★

Soit \(A=\begin{pmatrix}1&2&2\\2&1&2\\2&2&1\end{pmatrix}\). En utilisant la décomposition spectrale, déterminer \(A^n\) pour tout entier \(n\geq1\), puis \(A^3\).

16 Meilleure approximation affine d’une parabole ★★★

Déterminer les réels \(a,b\) minimisant \(I(a,b)=\int_0^1\left(t^2-at-b\right)^2dt\) et la valeur de ce minimum.

17 Produit scalaire de Frobenius ★★★

Sur \(\mathcal{M}_2(\mathbb{R})\), on pose \(\langle A,B\rangle=\operatorname{tr}(A^{T}B)\).

1. Montrer que c’est un produit scalaire.
2. Montrer que les matrices symétriques \(\mathcal{S}_2\) et antisymétriques \(\mathcal{A}_2\) sont orthogonales.
3. Calculer la distance de \(A=\begin{pmatrix}1&2\\3&4\end{pmatrix}\) à \(\mathcal{S}_2\).

18 L’opérateur de Legendre ★★★

Sur \(\mathbb{R}_2[X]\) muni de \(\langle P,Q\rangle=\int_{-1}^1PQ\), on définit \(u(P)=\left((X^2-1)P'\right)'\).

1. Montrer que \(u\) est un endomorphisme autoadjoint (intégrer par parties).
2. Déterminer ses valeurs propres et vecteurs propres, et conclure sur l’orthogonalité obtenue.

19 Maximum d’une forme quadratique ★★★

Soit \(A=\begin{pmatrix}2&-1&0\\-1&2&-1\\0&-1&2\end{pmatrix}\) et \(q(x)=x^{T}Ax\). Déterminer le maximum et le minimum de \(q\) sur la sphère unité de \(\mathbb{R}^3\), et les points où le maximum est atteint.

20 Axe et angle d’une rotation de l’espace ★★★

Avec la matrice \(M\) de l’exercice sur l’isométrie à coefficients rationnels (\(\det M=-1\)), on pose \(R=-M\).

1. Montrer que \(R\) est une rotation.
2. Déterminer son axe et le cosinus de son angle.

21 Image et noyau d’un autoadjoint ★★★

Soit \(u\) un endomorphisme autoadjoint d’un espace euclidien \(E\). Montrer que \(\operatorname{Im}u=(\ker u)^{\perp}\), puis que \(E=\ker u\oplus\operatorname{Im}u\).