Intégrales doubles et triples : exercices de maths Licence L2 à télécharger en PDF

1 Un rectangle et une somme ★★★

Calculer \(\displaystyle\iint_R (2x+y)\,dx\,dy\) avec \(R=[0,3]\times[1,2]\).

2 Produit de sinus et cosinus ★★★

Calculer \(\displaystyle\iint_{[0,\pi]\times[0,\pi/2]}\sin x\,\cos y\,dx\,dy\).

3 Un triangle ★★★

Soit \(D=\{(x,y):0\le x\le2,\ 0\le y\le x\}\). Dessiner \(D\) et calculer \(\iint_D xy\,dx\,dy\).

4 Aire sous une parabole ★★★

Calculer l’aire du domaine limité par la parabole \(y=x^2\) et la droite \(y=4\).

5 Vrai ou faux ? ★★★

Dire si chaque affirmation est vraie ou fausse, en justifiant.

1. \(\displaystyle\iint_{[-1,1]^2}xy\,dx\,dy=0\).
2. \(\displaystyle\iint_{[0,1]^2}(x+y)^2\,dx\,dy=\left(\iint_{[0,1]^2}(x+y)\,dx\,dy\right)^2\).

6 Deux calculs en polaires ★★★

Calculer en coordonnées polaires : a) l’aire du disque de rayon 3 ; b) \(\iint_D(x^2+y^2)\,dx\,dy\) où \(D\) est le disque de centre \(O\) et de rayon 2.

7 Une somme sur un pavé ★★★

Calculer \(\displaystyle\iiint_P(x+y+z)\,dx\,dy\,dz\) pour \(P=[0,1]\times[0,2]\times[0,3]\).

8 Entre deux courbes ★★★

Soit \(D\) le domaine limité par \(y=x^2\) et \(y=\sqrt x\) (\(0\le x\le1\)). Calculer \(\iint_D y\,dx\,dy\).

9 Échanger l’ordre ★★★

On veut calculer \(I=\displaystyle\int_0^1\int_y^1e^{x^2}\,dx\,dy\). Expliquer pourquoi l’ordre donné est inutilisable, puis calculer \(I\).

10 Le losange ★★★

Soit \(D=\{(x,y):|x|+|y|\le1\}\). Avec \(u=x+y\), \(v=x-y\), calculer \(\iint_D(x+y)^2\,dx\,dy\).

11 Un quart de disque ★★★

Soit \(D=\{x\ge0,\ y\ge0,\ x^2+y^2\le1\}\). Calculer \(\iint_Dxy\,dx\,dy\).

12 Une couronne ★★★

Calculer \(\displaystyle\iint_C\dfrac{dx\,dy}{x^2+y^2}\) où \(C=\{1\le x^2+y^2\le4\}\).

13 Volume sous un paraboloïde ★★★

Calculer le volume du solide compris entre le plan \(z=0\) et le paraboloïde \(z=4-x^2-y^2\).

14 Moment sur un tétraèdre ★★★

Soit \(T=\{x,y,z\ge0,\ x+y+z\le1\}\). Calculer \(\iiint_Tz\,dV\) en intégrant par tranches.

15 Intégrale de Gauss ★★★

Soit \(I=\int_{-\infty}^{+\infty}e^{-x^2}dx\). Montrer que \(I^2=\iint_{\mathbb{R}^2}e^{-(x^2+y^2)}dx\,dy\), en déduire \(I\), puis \(\int_0^{+\infty}e^{-t^2}dt\).

16 Moment d’inertie d’une boule ★★★

Calculer \(\iiint_B(x^2+y^2+z^2)\,dV\) où \(B\) est la boule de centre \(O\) et de rayon 2.

17 Volume d’un cône ★★★

Calculer le volume du solide \(K=\{(x,y,z):\sqrt{x^2+y^2}\le z\le3\}\) et comparer avec \(\tfrac13\pi R^2h\).

18 Inertie d’un cylindre ★★★

Un cylindre plein homogène de rayon 2 et de hauteur 5, d’axe \(Oz\), a pour moment d’inertie (densité 1) \(\iiint(x^2+y^2)\,dV\). Le calculer.

19 Centre de masse d’une demi-boule ★★★

Soit \(H=\{x^2+y^2+z^2\le R^2,\ z\ge0\}\), homogène. Calculer son volume, \(\iiint_Hz\,dV\), puis la cote \(\bar z\) du centre de masse. Donner \(\bar z\) pour \(R=4\).

20 Boule percée par un cylindre ★★★

Calculer le volume du solide formé des points de la boule \(x^2+y^2+z^2\le4\) situés dans le cylindre \(x^2+y^2\le1\).

21 Aire d’une ellipse ★★★

Soit \(E=\{\dfrac{x^2}{9}+\dfrac{y^2}{4}\le1\}\). Avec \(x=3r\cos\theta\), \(y=2r\sin\theta\), calculer l’aire de \(E\) et \(\iint_Ex^2\,dx\,dy\).