Généralités sur les fonctions : exercices corrigés de maths 2de à télécharger en PDF

1 Calculer des images ★★★

On remplace \(x\) par chaque valeur.

• \(f(0) = 3 \times 0 - 5 = -5\).
• \(f(2) = 3 \times 2 - 5 = 1\).
• \(f(-4) = 3 \times (-4) - 5 = -12 - 5 = -17\).
• \(f\left(\dfrac{1}{3}\right) = 3 \times \dfrac{1}{3} - 5 = 1 - 5 = -4\).

2 Lire un tableau de valeurs ★★★

1. Dans la colonne \(x = 2\), on lit \(g(2) = 5\) : l’image de \(2\) est \(5\).
2. Le nombre \(2\) apparaît dans la ligne de \(g(x)\) pour \(x = -1\) et pour \(x = 1\). Les antécédents de \(2\) sont donc \(-1\) et \(1\).
3. \(10\) apparaît seulement pour \(x = 3\) : son antécédent est \(3\).
4. \(g(-2) = 5\).

3 Vrai ou faux avec une formule ★★★

1. Vrai : \(f(4) = 2 \times 4 + 1 = 9\).
2. Faux : \(f(-1) = 2 \times (-1) + 1 = -1\), et non \(3\).
3. Vrai : \(f(2) = 2 \times 2 + 1 = 5\), donc \(2\) est un antécédent de \(5\).
4. Faux : on résout \(2x + 1 = 0\), d’où \(x = -\dfrac{1}{2}\). Le nombre \(0\) a un antécédent : \(-\dfrac{1}{2}\).

4 Le prix d’une course ★★★

1. \(p(d) = 2{,}5 + 1{,}4\,d\).
2. \(p(10) = 2{,}5 + 1{,}4 \times 10 = 2{,}5 + 14 = 16{,}5\). Une course de \(10\) km coûte \(16{,}5\) €.
3. On cherche l’antécédent de \(30{,}5\) : \(2{,}5 + 1{,}4\,d = 30{,}5\), donc \(1{,}4\,d = 28\) et \(d = \dfrac{28}{1{,}4} = 20\). La cliente a parcouru \(20\) km.

5 Premiers ensembles de définition ★★★

1. Le dénominateur ne doit pas être nul : \(x + 5 \neq 0\), donc \(x \neq -5\). \(D_f = \mathbb{R} \setminus \{-5\}\).
2. Un polynôme se calcule pour tout réel : \(D_g = \mathbb{R}\).
3. Il faut \(x - 4 \geqslant 0\), donc \(x \geqslant 4\). \(D_h = [4 \,;\, +\infty[\).

6 Lecture graphique ★★★

1. On lit \(u(0) = 3\) et \(u(2) = 3\).
2. L’horizontale \(y = 3\) coupe la courbe aux points d’abscisses \(0\) et \(2\) : les antécédents de \(3\) sont \(0\) et \(2\).
3. La courbe coupe l’axe des abscisses en \(-1\) et en \(3\) : \(S = \{-1 \,;\, 3\}\).
4. La courbe n’atteint jamais l’ordonnée \(5\) : elle ne dépasse pas \(4\). Le nombre \(5\) n’a donc pas d’antécédent. Le maximum de \(u\) est \(4\), atteint en \(x = 1\).

7 Un point est-il sur la courbe ? ★★★

On compare l’ordonnée du point à l’image de son abscisse.

• \(f(2) = 4 - 6 = -2\) : \(A \in \mathcal{C}\).
• \(f(-1) = 1 + 3 = 4\) : \(B \in \mathcal{C}\).
• \(f(3) = 9 - 9 = 0 \neq 1\) : \(C \notin \mathcal{C}\).
• \(f(4) = 16 - 12 = 4\) : \(D \in \mathcal{C}\).

8 Chercher des antécédents par le calcul ★★★

• Antécédents de \(0\) : \(x^2 - 5x + 6 = (x - 2)(x - 3) = 0\), donc \(x = 2\) ou \(x = 3\).
• Antécédents de \(6\) : \(x^2 - 5x + 6 = 6\) donne \(x^2 - 5x = 0\), soit \(x(x - 5) = 0\), donc \(x = 0\) ou \(x = 5\).
• Antécédents de \(-1\) : on a \(f(x) = \left(x - \dfrac{5}{2}\right)^2 - \dfrac{1}{4}\), donc \(f(x) \geqslant -\dfrac{1}{4}\) pour tout \(x\). Comme \(-1 < -\dfrac{1}{4}\), l’équation \(f(x) = -1\) n’a pas de solution : \(-1\) n’a aucun antécédent.

9 Dénominateurs et racines ★★★

1. Il faut \(x^2 - 9 \neq 0\), c’est-à-dire \((x - 3)(x + 3) \neq 0\), donc \(x \neq 3\) et \(x \neq -3\). \(D_f = \mathbb{R} \setminus \{-3 \,;\, 3\}\).
2. Il faut \(5 - 2x \geqslant 0\), soit \(x \leqslant \dfrac{5}{2}\). \(D_g = \left]-\infty \,;\, \dfrac{5}{2}\right]\).
3. Il faut \(x - 1 \geqslant 0\) pour la racine, et la racine ne doit pas être nulle (elle est au dénominateur), donc \(x - 1 > 0\). \(D_h = ]1 \,;\, +\infty[\).

10 Un enclos rectangulaire ★★★

1. Le demi-périmètre vaut \(24 \div 2 = 12\) m, donc l’autre côté mesure \(12 - x\). L’aire est \(A(x) = x(12 - x)\).
2. On calcule : \(A(0) = 0\), \(A(2) = 2 \times 10 = 20\), \(A(4) = 4 \times 8 = 32\), \(A(6) = 6 \times 6 = 36\), \(A(8) = 32\), \(A(10) = 20\), \(A(12) = 0\).
3. On résout \(x(12 - x) = 32\), soit \(x^2 - 12x + 32 = 0\), c’est-à-dire \((x - 4)(x - 8) = 0\). Donc \(x = 4\) ou \(x = 8\) (cohérent avec le tableau).
4. D’après le tableau, l’aire semble maximale pour \(x = 6\) : l’enclos est alors un carré de côté \(6\) m et l’aire vaut \(36\) m². En effet \(A(x) = 36 - (x - 6)^2 \leqslant 36\).

11 Résoudre h(x) = k avec une courbe ★★★

1. L’horizontale \(y = 2\) touche la courbe en \(x = -1\) (au sommet de la première bosse) et la coupe en \(x = 2\). \(S = \{-1 \,;\, 2\}\).
2. L’horizontale \(y = -2\) coupe la courbe en \(x = -2\) et la touche en \(x = 1\) (au fond du creux). \(S = \{-2 \,;\, 1\}\).
3. \(h(-1) = (-1)^3 - 3 \times (-1) = -1 + 3 = 2\). Le nombre \(-1\) est bien solution. On vérifie aussi \(h(2) = 8 - 6 = 2\).

12 Comparer deux courbes ★★★

1. Les courbes se coupent aux points d’abscisses \(-3\) et \(2\).
2. \(x^2 - 4 = -x + 2\) équivaut à \(x^2 + x - 6 = 0\), soit \((x + 3)(x - 2) = 0\). Donc \(x = -3\) ou \(x = 2\). On a \(f(-3) = g(-3) = 5\) et \(f(2) = g(2) = 0\).
3. La parabole est strictement sous la droite entre les deux points d’intersection : \(f(x) < g(x)\) pour \(x \in ]-3 \,;\, 2[\). On peut le justifier par le signe de \((x + 3)(x - 2)\), négatif entre ses racines.

13 Tableau et antécédent d’une fonction affine ★★★

\(f(-2) = 4 + 7 = 11\), \(f(0) = 7\), \(f(1{,}5) = -3 + 7 = 4\), \(f(3{,}5) = -7 + 7 = 0\).

Pour l’antécédent de \(10\), on résout \(-2x + 7 = 10\), donc \(-2x = 3\) et \(x = -\dfrac{3}{2} = -1{,}5\). Vérification : \(f(-1{,}5) = 3 + 7 = 10\).

14 Deux formules de trottinette ★★★

1. \(L(x) = 0{,}25\,x\) et \(B(x) = 1 + 0{,}15\,x\), pour \(x \geqslant 0\).

2. \(x\)	0	5	10	15	20
   \(L(x)\)	0	1,25	2,5	3,75	5
   \(B(x)\)	1	1,75	2,5	3,25	4

3. \(0{,}25\,x = 1 + 0{,}15\,x\) donne \(0{,}1\,x = 1\), soit \(x = 10\). Pour \(10\) minutes, les deux formules coûtent \(2{,}50\) €.
4. Pour \(18\) minutes (plus de \(10\)), la formule Abo est moins chère : \(B(18) = 1 + 2{,}7 = 3{,}70\) € contre \(L(18) = 4{,}50\) €.

15 Ensembles de définition plus délicats ★★★

1. Deux conditions : \(x + 3 \geqslant 0\) donc \(x \geqslant -3\), et \(x - 1 \neq 0\) donc \(x \neq 1\). On retire \(1\) de l’intervalle \([-3 \,;\, +\infty[\) : \(D_f = [-3 \,;\, 1[ \,\cup\, ]1 \,;\, +\infty[\).
2. Un carré est positif ou nul, donc \(x^2 + 4 \geqslant 4 > 0\) : le dénominateur ne s’annule jamais. \(D_g = \mathbb{R}\).
3. \(x^2 - 2x = x(x - 2) = 0\) pour \(x = 0\) ou \(x = 2\). \(D_h = \mathbb{R} \setminus \{0 \,;\, 2\}\).

16 Fabriquer une boîte ★★★

1. On retire \(x\) aux deux extrémités de chaque côté : il faut \(20 - 2x > 0\), donc \(x < 10\), et \(x > 0\). Ainsi \(x \in ]0 \,;\, 10[\).
2. La base est un carré de côté \(20 - 2x\) et la hauteur est \(x\) : \(V(x) = x(20 - 2x)^2\).

3. \(x\)	1	2	3	4	5
   \(V(x)\)	324	512	588	576	500

   (par exemple \(V(3) = 3 \times 14^2 = 588\)).

4. Les deux plus grandes valeurs du tableau sont \(588\) (pour \(x = 3\)) et \(576\) (pour \(x = 4\)), et le volume diminue de part et d’autre : le maximum semble atteint pour \(x\) compris entre \(3\) et \(4\).
5. \(V(5) = 5 \times 10^2 = 500\), donc \(5\) est un antécédent de \(500\). Comme \(V(1) = 324 < 500 < 512 = V(2)\), le volume passe par \(500\) entre \(x = 1\) et \(x = 2\) : un autre antécédent se trouve dans l’intervalle \(]1 \,;\, 2[\).

17 Étude d’une courbe : signe et extremum ★★★

1. Le sommet de la courbe est en \((1 \,;\, 4{,}5)\) : \(k(1) = 4{,}5\). L’horizontale \(y = 4\) coupe la courbe en \(x = 0\) et en \(x = 2\) : les antécédents de \(4\) sont \(0\) et \(2\).
2. La courbe coupe l’axe des abscisses en \(-2\) et en \(4\) : \(S = \{-2 \,;\, 4\}\). Elle est au-dessus de l’axe pour \(x\) entre \(-2\) et \(4\), donc \(k(x) \geqslant 0\) pour \(x \in [-2 \,;\, 4]\).
3. Le maximum de \(k\) est \(4{,}5\), atteint en \(x = 1\).
4. L’horizontale \(y = -3{,}5\) coupe la courbe en deux points, d’abscisses \(-3\) et \(5\) : le nombre \(-3{,}5\) a deux antécédents, les deux extrémités de l’intervalle (\(k(-3) = k(5) = -3{,}5\)).

18 Affirmations à justifier ★★★

1. Faux : par définition d’une fonction, chaque nombre de l’ensemble de définition a une seule image.
2. Vrai : avec \(f(x) = x^2\), le nombre \(4\) a deux antécédents, \(2\) et \(-2\).
3. Faux : raisonner ainsi est une erreur. Avec \(f(x) = x^2 - 5x\), on a \(f(2) = 4 - 10 = -6\) et \(f(3) = 9 - 15 = -6\), alors que \(2 \neq 3\).
4. Faux : on ne peut pas calculer \(\dfrac{0}{0}\), donc \(0\) n’est pas dans l’ensemble de définition : \(D_f = \mathbb{R} \setminus \{0\}\). La fonction vaut \(1\) pour tout \(x \neq 0\), mais elle n’est pas définie en \(0\).

19 Retrouver une formule ★★★

1. \(A\) est sur la courbe donc \(f(1) = 5\) : \(a + b = 5\). \(B\) y est aussi donc \(f(3) = 21\) : \(9a + b = 21\).
2. En soustrayant la première équation à la seconde : \(8a = 16\), donc \(a = 2\), puis \(b = 5 - 2 = 3\). Ainsi \(f(x) = 2x^2 + 3\).
3. \(f(-2) = 2 \times 4 + 3 = 11\). Pour les antécédents de \(35\) : \(2x^2 + 3 = 35\), donc \(x^2 = 16\), soit \(x = 4\) ou \(x = -4\).

20 Le vol d’un ballon ★★★

1. \(h(1) = -5 + 20 = 15\), \(h(2) = -20 + 40 = 20\), \(h(4) = -80 + 80 = 0\). À \(t = 4\) s, le ballon est de retour au sol.
2. \(-5t^2 + 20t = 15\) donne \(t^2 - 4t + 3 = 0\), soit \((t - 1)(t - 3) = 0\). Le ballon est à \(15\) m à \(t = 1\) s (en montant) et \(t = 3\) s (en descendant).
3. \(h(t) = 20\) équivaut à \(-5t^2 + 20t - 20 = 0\), soit \(-5(t - 2)^2 = 0\), donc \(t = 2\) : il atteint exactement \(20\) m, à \(2\) s. Pour \(25\) m, comme \(h(t) = 20 - 5(t - 2)^2 \leqslant 20\), l’équation n’a pas de solution : le ballon n’atteint jamais \(25\) m.
4. La courbe est au-dessus de la droite \(y = 15\) pour \(t \in [1 \,;\, 3]\). Le ballon reste à \(15\) m ou plus pendant \(3 - 1 = 2\) secondes.