Suites réelles et complexes : contrôle de maths Maths Sup à télécharger en PDF

1 Calculs de limites / 3 pts

Déterminer les limites suivantes (justifier) :

1. \(a_n = \dfrac{4n^2 - 3n + 1}{5n^2 + 2}\) ;
2. \(b_n = \sqrt{n^2 + 4n} - n\) ;
3. \(c_n = 5^n - 4^n\).

2 Encadrement / 3 pts

1. Montrer que, pour \(n \geq 1\), \(\dfrac{n-1}{2n+1} \leq \dfrac{n + \cos n}{2n+1} \leq \dfrac{n+1}{2n+1}\), puis déterminer la limite de \(u_n = \dfrac{n+\cos n}{2n+1}\).
2. Montrer que \(v_n = n - \cos n\) tend vers \(+\infty\).

3 Une suite arithmético-géométrique / 5 pts

On définit \(u_0 = 10\) et \(u_{n+1} = 0{,}6\,u_n + 8\).

1. Déterminer le réel \(\ell\) tel que \(\ell = 0{,}6\,\ell + 8\).
2. Montrer que \(v_n = u_n - \ell\) est une suite géométrique dont on précisera la raison et le premier terme.
3. En déduire l’expression de \(u_n\) en fonction de \(n\).
4. Étudier le sens de variation de \((u_n)\) et sa limite.
5. Déterminer le plus petit entier \(n\) tel que \(u_n \gt 19{,}9\) (calculatrice autorisée).

4 Une suite récurrente / 5 pts

Soit \(u_0 = \dfrac{1}{4}\) et \(u_{n+1} = 2u_n - u_n^2\).

1. Vérifier que \(u_{n+1} = 1 - (1 - u_n)^2\) et montrer que \(0 \lt u_n \lt 1\) pour tout \(n\).
2. Étudier la monotonie de \((u_n)\).
3. Montrer que \((u_n)\) converge et déterminer sa limite \(\ell\).

5 Suites adjacentes / 4 pts

Pour \(n \geq 1\), on pose \(a_n = \displaystyle\sum_{k=1}^{n} \dfrac{1}{k^2}\) et \(b_n = a_n + \dfrac{1}{n}\).

1. Montrer que \((a_n)\) est croissante.
2. Montrer que \(b_{n+1} - b_n = -\dfrac{1}{n(n+1)^2}\) et en déduire que \((b_n)\) est décroissante.
3. Conclure que les suites sont adjacentes.
4. Donner un encadrement de leur limite commune à l’aide de \(a_2\) et \(b_2\).