Suites réelles et complexes : exercices de maths Maths Sup à télécharger en PDF

1 Un rang à partir duquel c’est proche ★★★

Soit \(u_n = \dfrac{4n-3}{n+5}\).

1. Calculer \(u_n - 4\).
2. En déduire que \(u_n \to 4\).
3. Trouver le plus petit entier \(N\) tel que \(|u_n - 4| \lt 0{,}01\) pour tout \(n \geq N\).

2 Quatre limites à calculer ★★★

Déterminer la limite de chaque suite :

1. \(a_n = \dfrac{5n^2 - n + 2}{2n^2 + 3}\) ;
2. \(b_n = \sqrt{n+3} - \sqrt{n}\) ;
3. \(c_n = \dfrac{(-1)^n}{n+1}\) ;
4. \(d_n = n^3 - 4n^2\).

3 Vrai ou faux ? ★★★

Dire si chaque affirmation est vraie ou fausse, en justifiant (preuve ou contre-exemple).

1. Toute suite bornée converge.
2. Toute suite convergente est bornée.
3. Si \(u_n \to 0\) et si \((v_n)\) est bornée, alors \(u_n v_n \to 0\).
4. Toute suite croissante tend vers \(+\infty\).

4 Encadrer pour conclure ★★★

Déterminer les limites de :

1. \(p_n = \dfrac{\sin n}{n^2+1}\) ;
2. \(q_n = \dfrac{2n + (-1)^n}{n}\) pour \(n \geq 1\).

5 Monotonie et convergence ★★★

Soit \(u_n = \dfrac{3n}{n+2}\).

1. Montrer que \((u_n)\) est croissante.
2. Montrer que \(u_n \lt 3\) pour tout \(n\).
3. Que peut-on dire de sa convergence ? Donner sa limite.

6 Une suite qui explose ★★★

On définit \(u_0 = 5\) et \(u_{n+1} = 3u_n - 4\).

1. Calculer \(u_1, u_2, u_3, u_4\).
2. Trouver le point fixe \(\ell\) de \(x \mapsto 3x - 4\) et exprimer \(u_n\) en fonction de \(n\).
3. Quelle est la limite de \((u_n)\) ?

7 Une suite complexe simple ★★★

On pose \(z_n = \dfrac{2n+1}{n+2} + \dfrac{(-1)^n}{n}\, i\) pour \(n \geq 1\).

1. Donner la partie réelle et la partie imaginaire de \(z_n\), puis leurs limites.
2. En déduire que \((z_n)\) converge et préciser sa limite.
3. Vérifier que \(|z_n - 2|^2 = \dfrac{9}{(n+2)^2} + \dfrac{1}{n^2}\).

8 Tendre vers l’infini par comparaison ★★★

Montrer que :

1. \(u_n = n + 5\cos n\) tend vers \(+\infty\) ;
2. \(v_n = 3^n - 2^n\) tend vers \(+\infty\).

9 Une somme prise en sandwich ★★★

Pour \(n \geq 1\), on pose \(S_n = \displaystyle\sum_{k=1}^{n} \dfrac{k}{n^2+k}\).

1. Encadrer chaque terme \(\dfrac{k}{n^2+k}\) pour \(1 \leq k \leq n\).
2. En déduire un encadrement de \(S_n\), puis sa limite.

10 Suites adjacentes par alternance ★★★

Pour \(n \geq 1\), on pose \(S_n = \displaystyle\sum_{k=1}^{n} \dfrac{(-1)^{k+1}}{k} = 1 - \dfrac{1}{2} + \dfrac{1}{3} - \cdots\). On étudie \(a_n = S_{2n}\) et \(b_n = S_{2n+1}\).

1. Montrer que \((a_n)\) est croissante et que \((b_n)\) est décroissante.
2. Montrer que \(b_n - a_n \to 0\).
3. Conclure, puis encadrer la limite à l’aide de \(a_1\) et \(b_1\).

11 Un point fixe parmi deux ★★★

Soit \(u_0 = 1\) et \(u_{n+1} = \dfrac{u_n^2 + 6}{5}\).

1. Résoudre \(x = \dfrac{x^2+6}{5}\).
2. Montrer par récurrence que \(1 \leq u_n \lt 2\) pour tout \(n\).
3. Montrer que \((u_n)\) est croissante, puis déterminer sa limite.

12 Équivalents usuels ★★★

1. Donner un équivalent simple de \(a_n = n^2 + 3n - 1\), puis la limite de \(\dfrac{n^2+3n-1}{2n^2+n}\).
2. Montrer que \(\sqrt{n+4} - \sqrt{n} \sim \dfrac{2}{\sqrt{n}}\).
3. Sachant que \(\sin x \sim x\) quand \(x \to 0\), calculer la limite de \(n \sin\dfrac{3}{n}\).

13 Une suite arithmético-géométrique et sa précision ★★★

Soit \(u_0 = -4\) et \(u_{n+1} = \dfrac{1}{4}u_n + 3\).

1. Déterminer le point fixe \(\ell\) et exprimer \(u_n\).
2. Déterminer la limite de \((u_n)\).
3. À partir de quel rang a-t-on \(|u_n - \ell| \lt 10^{-3}\) ?

14 Une suite complexe qui spirale ★★★

Soit \(z_0 = 2\) et \(z_{n+1} = \dfrac{1+i}{2} z_n + 1\).

1. Calculer \(z_1\), \(z_2\).
2. Déterminer le point fixe \(\ell\) de \(z \mapsto \dfrac{1+i}{2}z + 1\).
3. Montrer que \(|z_n - \ell| = \left(\dfrac{\sqrt{2}}{2}\right)^n |z_0 - \ell|\), puis que \((z_n)\) converge.

15 Somme des carrés et équivalent ★★★

Soit \(S_n = \displaystyle\sum_{k=1}^{n} k^2 = \dfrac{n(n+1)(2n+1)}{6}\).

1. Donner un équivalent simple de \(S_n\).
2. En déduire la limite de \(\dfrac{S_n}{n^3}\), puis celle de \(\dfrac{S_n}{n^4}\).

16 Deux sous-suites, une divergence ★★★

On pose \(u_n = (-1)^n\left(1 + \dfrac{1}{n}\right)\) pour \(n \geq 1\).

1. Montrer que \((u_n)\) est bornée.
2. Étudier \((u_{2n})\) et \((u_{2n+1})\).
3. La suite \((u_n)\) converge-t-elle ? Que dit le théorème de Bolzano-Weierstrass ici ?

17 Une récurrence décroissante ★★★

Soit \(u_0 = 1\) et \(u_{n+1} = \dfrac{1}{1+u_n}\). On note \(\ell = \dfrac{\sqrt{5}-1}{2}\) et on admet que \(\ell^2 + \ell - 1 = 0\).

1. Calculer \(u_1, \dots, u_5\) sous forme de fractions.
2. Montrer que \(\dfrac{1}{2} \leq u_n \leq 1\) pour tout \(n\).
3. Montrer que \(|u_{n+1} - \ell| \leq \dfrac{1}{2}|u_n - \ell|\), puis que \(u_n \to \ell\).

18 Limite par équivalents et logarithme ★★★

On admet \(\ln(1+x) \sim x\) quand \(x \to 0\).

1. Montrer que \(\ln\left(1 + \dfrac{2}{n}\right) \sim \dfrac{2}{n}\).
2. En déduire la limite de \(\left(1 + \dfrac{2}{n}\right)^n\).
3. Déterminer la limite de \(\sqrt{n^2+n} - n\).

19 Une récurrence avec second membre variable ★★★

Soit \(u_0 = 1\) et \(u_{n+1} = 2u_n - n + 1\).

1. Calculer \(u_1, u_2, u_3\).
2. On pose \(v_n = u_n - n\). Montrer que \((v_n)\) est géométrique.
3. En déduire \(u_n\), puis un équivalent de \(u_n\).

20 Deux moyennes qui se rejoignent ★★★

On pose \(a_0 = 1\), \(b_0 = 9\) et, pour tout \(n\), \(a_{n+1} = \sqrt{a_n b_n}\), \(b_{n+1} = \dfrac{a_n + b_n}{2}\).

1. Calculer \(a_1, b_1, a_2, b_2\).
2. Montrer que \(0 \lt a_n \leq b_n\), que \((a_n)\) est croissante et que \((b_n)\) est décroissante.
3. Montrer que \(b_{n+1} - a_{n+1} \leq \dfrac{1}{2}(b_n - a_n)\), puis que les suites sont adjacentes. Encadrer leur limite commune avec \(a_2\) et \(b_2\).

21 Puissances d’un nombre complexe ★★★

1. Montrer que \(z_n = \left(\dfrac{\sqrt{3}+i}{3}\right)^n\) converge vers \(0\).
2. On pose \(w_n = \left(\dfrac{1+i}{\sqrt{2}}\right)^n\). Calculer \(w_{8k}\) et \(w_{8k+4}\) ; que peut-on en conclure sur \((w_n)\) ?