Limites et continuité : contrôle de maths Maths Sup à télécharger en PDF

1 Calculs de limites / 4 pts

Calcule : a) \(\displaystyle\lim_{x \to +\infty} \dfrac{2x^3 - 5x}{4x^3 + x^2}\) ; b) \(\displaystyle\lim_{x \to 0} \dfrac{\sqrt{4 + x} - 2}{x}\).

2 Équivalents / 3 pts

Calcule : a) \(\displaystyle\lim_{x \to 0} \dfrac{1 - \cos(2x)}{x \sin(3x)}\) ; b) \(\displaystyle\lim_{x \to 0} \dfrac{e^{4x} - 1}{\ln(1 + x)}\).

3 Continuité et paramètres / 3 pts

a) Soit \(f(x) = \dfrac{x^2 - x - 6}{x - 3}\) pour \(x \neq 3\). Quelle valeur donner à \(f(3)\) pour que \(f\) soit continue en \(3\) ?

b) Soit \(g(x) = x^2 + ax\) si \(x \leqslant 1\) et \(g(x) = 3x + 2\) si \(x \gt 1\). Détermine \(a\) pour que \(g\) soit continue en \(1\).

4 Théorème des valeurs intermédiaires / 4 pts

Soit \(f(x) = x^5 + x - 1\). Montre que l’équation \(f(x) = 0\) admet une unique solution \(c\) dans \(\mathbb{R}\), puis que \(0{,}7 \lt c \lt 0{,}8\). (Calculatrice autorisée.)

5 Théorème de la bijection / 3 pts

Soit \(g(x) = x + \ln x\) sur \(]0,+\infty[\). Montre que \(g\) est une bijection de \(]0,+\infty[\) sur \(\mathbb{R}\), puis calcule \(g^{-1}(1)\) et \(g^{-1}(e + 1)\).

6 Continuité uniforme / 3 pts

a) Montre que \(x \mapsto x^3\) n’est pas uniformément continue sur \(\mathbb{R}\) (indice : \(x_n = n\), \(y_n = n + \tfrac1n\)).

b) Montre qu’elle est lipschitzienne sur \([0,2]\).