1 Calculs directs / 3 pts
Calcule : a) \(I = \displaystyle\int_1^4 \left(3\sqrt{t} - \dfrac{2}{t^2}\right)dt\) ; b) \(K = \displaystyle\int_0^{\pi/2} (\sin x + \cos 2x)\,dx\).
2 Intégration par parties / 3 pts
Calcule \(J = \displaystyle\int_1^e (\ln x)^2\,dx\). On admet que \(\displaystyle\int_1^e \ln x\,dx = 1\).
3 Changement de variable / 3 pts
Calcule \(\displaystyle\int_1^4 \dfrac{dx}{x + \sqrt{x}}\) avec le changement de variable \(u = \sqrt{x}\).
4 Somme de Riemann / 3 pts
On pose \(u_n = \displaystyle\sum_{k=1}^{n}\dfrac{1}{n + 2k}\). Montre que \(u_n\) converge et calcule sa limite.
5 Formule de Taylor / 3 pts
a) Écris la formule de Taylor avec reste intégral pour \(\cos\) en \(0\) à l’ordre \(3\). b) Montre que \(\left|\cos x - 1 + \dfrac{x^2}{2}\right| \leq \dfrac{x^4}{24}\) pour tout réel \(x\). c) Déduis-en un encadrement de \(\cos(0{,}2)\) avec la précision \(10^{-4}\).
6 Équation d’ordre 1 / 2 pts
Résous \(y^{\prime} - 2y = 4x\) avec \(y(0) = 1\). Indice : cherche une solution particulière affine.
7 Équation d’ordre 2 / 3 pts
Résous \(y^{\prime\prime} - 2y^{\prime} + 5y = 0\) avec \(y(0) = 1\) et \(y^{\prime}(0) = 3\).
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