1 Cours et inégalités / 3 pts
(a) Énoncer l’inégalité de Markov. (b) \(X\ge0\) a pour espérance 6 : majorer \(\mathbb{P}(X\ge24)\). (c) \(Y\) a pour espérance 10 et variance 4 : majorer \(\mathbb{P}(|Y-10|\ge5)\).
2 Une loi sur les entiers / 4 pts
Soit \(X\) à valeurs dans \(\mathbb{N}^*\) avec \(\mathbb{P}(X=n)=\dfrac n{2^{n+1}}\). On admet \(\sum_{n\ge1}nx^n=\dfrac x{(1-x)^2}\) et \(\sum_{n\ge1}n^2x^n=\dfrac{x(1+x)}{(1-x)^3}\) pour \(|x|<1\). (a) Vérifier que c’est une loi. (b) Calculer \(\mathbb{P}(X\ge3)\). (c) Calculer \(\mathbb{E}(X)\).
3 Capteurs défaillants / 4 pts
Un lot de 150 capteurs est tel que chacun est défaillant avec la probabilité \(0{,}02\), indépendamment des autres. \(X\) est le nombre de capteurs défaillants. Calculatrice autorisée. (a) Loi, espérance et variance de \(X\). (b) Approcher la loi par une loi de Poisson et calculer \(\mathbb{P}(X=0)\) et \(\mathbb{P}(X\ge2)\), arrondis à \(10^{-3}\).
4 Fonction génératrice / 4 pts
La fonction génératrice de \(X\) est \(G(t)=\dfrac t{4-3t}\) pour \(|t|<\dfrac43\). (a) Vérifier que \(G(1)=1\). (b) Déterminer \(\mathbb{P}(X=n)\). (c) Calculer \(\mathbb{E}(X)\) et \(\mathrm{V}(X)\) avec \(G\).
5 Somme de deux tirages / 3 pts
\(X\) et \(Y\) sont indépendantes et uniformes sur \(\{1,2,3\}\). On pose \(S=X+Y\). (a) Donner la loi de \(S\). (b) Calculer \(\mathbb{E}(S)\) et \(\mathrm{V}(S)\).
6 Vrai ou faux / 2 pts
(a) Si \(\mathrm{Cov}(X,Y)=0\), alors \(X\) et \(Y\) sont indépendantes. (b) On lance une pièce équilibrée indéfiniment : la probabilité de n’obtenir jamais pile est nulle. Justifier.
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