1 Un plan de \(\mathbb{R}^3\) / 4 pts
Soit \(F=\{(x,y,z)\in\mathbb{R}^3 : x-y+2z=0\}\) et \(G=\{(x,y,z)\in\mathbb{R}^3 : xy=0\}\).
- Montrer que \(F\) est un sous-espace vectoriel de \(\mathbb{R}^3\).
- Déterminer une base de \(F\) et sa dimension.
- \(G\) est-il un sous-espace vectoriel ?
2 Famille de vecteurs / 4 pts
Dans \(\mathbb{R}^3\), soit \(u_1=(1,0,2)\), \(u_2=(1,1,0)\), \(u_3=(0,1,-2)\), \(w=(0,0,1)\).
- Montrer que \((u_1,u_2,u_3)\) est liée.
- Donner le rang de cette famille et une base de son sous-espace engendré.
- Montrer que \((u_1,u_2,w)\) est une base de \(\mathbb{R}^3\).
3 Une application linéaire de \(\mathbb{R}^3\) / 5 pts
Soit \(f:\mathbb{R}^3\to\mathbb{R}^3\), \(f(x,y,z)=(x+2y,\ y-z,\ x+y+z)\).
- Déterminer \(\operatorname{Ker}f\).
- Déterminer une base de \(\operatorname{Im}f\) et en donner une équation.
- \(f\) est-elle injective ? surjective ? Justifier avec le théorème du rang.
4 Somme directe dans \(\mathbb{R}^4\) / 4 pts
Soit \(F=\operatorname{Vect}(a_1,a_2)\) avec \(a_1=(1,1,0,0)\), \(a_2=(0,0,1,1)\), et \(G=\operatorname{Vect}(b_1,b_2)\) avec \(b_1=(1,0,1,0)\), \(b_2=(0,1,0,-1)\).
- Montrer que \((a_1,a_2,b_1,b_2)\) est libre.
- En déduire que \(\mathbb{R}^4=F\oplus G\).
- Décomposer \(u=(3,2,2,1)\) sur \(F\) et \(G\).
5 Théorème du rang / 3 pts
Soit \(f:\mathbb{R}^7\to\mathbb{R}^4\) linéaire.
- \(f\) peut-elle être injective ?
- Si \(f\) est surjective, que vaut \(\dim\operatorname{Ker}f\) ?
- Si \(\dim\operatorname{Ker}f=5\), \(f\) est-elle surjective ?
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