Intégration et primitives : corrigé du contrôle de maths Licence L1 à télécharger en PDF

1 Calculs directs / 4 pts

a) \( [x^3-\tfrac{x^2}2+x]_0^2=8-2+2=8 \). (1 pt)

b) \( \left[\tfrac{e^{3x}}3\right]_0^{\ln2}=\tfrac{8-1}3=\tfrac73 \). (1,5 pt)

c) \( x^5 \) impaire donc sa part est nulle ; \( \left[\tfrac{x^3}3\right]_{-1}^{1}=\tfrac23 \). (1,5 pt)

2 Intégrations par parties / 4 pts

a) \( u=2x+1 \), \( v=e^x \) : \( [(2x+1)e^x]_0^1-2\int_0^1e^xdx=(3e-1)-2(e-1)=e+1 \). (2 pts)

b) \( u=\ln x \), \( v^{\prime}=x^{-2} \), \( v=-\tfrac1x \) : \( \left[-\tfrac{\ln x}x\right]_1^2+\int_1^2\tfrac{dx}{x^2}=-\tfrac{\ln2}2+\tfrac12=\tfrac{1-\ln2}2 \). (2 pts)

3 Changements de variable / 4 pts

a) \( du=2x\,dx \), bornes \( 1 \) et \( 2 \) : \( \tfrac12\int_1^2\sqrt u\,du=\tfrac12\cdot\tfrac23(2\sqrt2-1)=\tfrac{2\sqrt2-1}3 \). (2 pts)

b) \( du=\cos x\,dx \), bornes \( 0 \) et \( 1 \) : \( \int_0^1\tfrac{du}{1+u^2}=\arctan1=\tfrac\pi4 \). (2 pts)

4 Fraction rationnelle / 4 pts

a) \( \dfrac A{x+1}+\dfrac B{x+2} \) : \( A=\tfrac{-1+5}{1}=4 \), \( B=\tfrac{-2+5}{-1}=-3 \). Contrôle : \( 4(x+2)-3(x+1)=x+5 \). (2 pts)

b) \( 4[\ln(x+1)]_0^1-3[\ln(x+2)]_0^1=4\ln2-3\ln\tfrac32=7\ln2-3\ln3 \). (2 pts)

5 Sommes de Riemann et intégrales généralisées / 4 pts

a) \( v_n=\dfrac1n\sum\dfrac{k/n}{1+(k/n)^2} \to\int_0^1\dfrac{x}{1+x^2}dx=\tfrac12\ln2 \). (2 pts)

b) \( \int_0^A e^{-2x}dx=\tfrac{1-e^{-2A}}2\to\tfrac12 \). (1 pt)

c) \( \int_1^A x^{-1/2}dx=2\sqrt A-2\to+\infty \) : divergence. (1 pt)