Espaces vectoriels : contrôle de maths Licence L1 à télécharger en PDF

1 Sous-espaces ou non / 4 pts

Dis, en justifiant, si chaque partie est un sous-espace vectoriel.

1. \(U = \{(x,y,z) \in \mathbb{R}^3 : 2x + y - z = 0\}\).
2. \(V = \{(x,y) \in \mathbb{R}^2 : y = x^2\}\).

2 Base d’un sous-espace de R^4 / 4 pts

Soit \(F = \{(x,y,z,t) \in \mathbb{R}^4 : x = 2y \text{ et } z = y + t\}\). Détermine une base de \(F\) et sa dimension.

3 Famille avec paramètre / 4 pts

Dans \(\mathbb{R}^3\), on pose \(u = (1,0,2)\), \(v = (0,1,-1)\) et \(w_m = (2,3,m)\) avec \(m \in \mathbb{R}\).

1. Pour quelle valeur de \(m\) la famille \((u, v, w_m)\) est-elle liée ?
2. Pour \(m = 0\), montre que c’est une base et donne les coordonnées de \((3,2,1)\).

4 Supplémentaires dans R^3 / 4 pts

Dans \(\mathbb{R}^3\), on pose \(F = \mathrm{Vect}((1,0,1),(0,1,1))\) et \(G = \mathrm{Vect}((1,1,0))\).

1. Montre que \(\mathbb{R}^3 = F \oplus G\).
2. Décompose \((3,1,2)\) en \(f + g\) avec \(f \in F\) et \(g \in G\).

5 Dimensions et somme / 4 pts

Soient \(F\) et \(G\) deux sev de \(\mathbb{R}^6\), avec \(\dim F = 4\) et \(\dim G = 3\).

1. Montre que \(F \cap G \neq \{0\}\).
2. Si \(F\) et \(G’\) sont supplémentaires dans \(\mathbb{R}^6\), quelle est la dimension de \(G’\) ?