Corrigé du contrôle avec le barème détaillé. Compte tes points et repère ce qu’il faut revoir.
1 Ordre 1 avec second membre polynomial / 4 pts
- \(y_h=Ce^{2x}\) (1 pt).
- \(y_p'-2y_p=-2+4x\), égal à \(4x-2\) (1 pt).
- \(y(x)=-2x+Ce^{2x}\) (1 pt).
- \(y(0)=C=3\), donc \(y(x)=3e^{2x}-2x\) (1 pt).
2 Variation de la constante / 4 pts
- \(y'+\dfrac2xy=\dfrac1{x^2}\) (1 pt).
- Primitive \(2\ln x\) : \(y_h=\dfrac{C}{x^2}\) (1 pt).
- \(y=\dfrac{C(x)}{x^2}\) : \(\dfrac{C'(x)}{x^2}=\dfrac1{x^2}\), \(C'=1\), \(C=x+K\), \(y=\dfrac1x+\dfrac{K}{x^2}\) (1 pt).
- \(y(1)=1+K=3\), \(K=2\) : \(y(x)=\dfrac1x+\dfrac2{x^2}\) (1 pt).
3 Ordre 2 avec résonance / 5 pts
- \(r^2-r-6=(r-3)(r+2)\), \(y_h=\lambda e^{3x}+\mu e^{-2x}\) (1 pt).
- \(m=-2\) est racine simple : on cherche \(y_p=c\,x\,e^{-2x}\) (1 pt).
- \(y_p'=c(1-2x)e^{-2x}\), \(y_p''=c(-4+4x)e^{-2x}\), donc \(y_p''-y_p'-6y_p=-5c\,e^{-2x}\). On veut \(-5c=10\) : \(c=-2\) et \(y_p=-2x\,e^{-2x}\) (2 pts).
- \(y(x)=\lambda e^{3x}+(\mu-2x)e^{-2x}\) (1 pt).
4 Problème de Cauchy avec racines complexes / 4 pts
- \(\Delta=4-40=-36\), racines \(-1\pm3i\) (1 pt).
- \(y=e^{-x}(\lambda\cos3x+\mu\sin3x)\) (1 pt).
- \(y(0)=\lambda=1\) ; \(y'(0)=-\lambda+3\mu=5\), donc \(\mu=2\) : \(y(x)=e^{-x}(\cos3x+2\sin3x)\) (2 pts).
5 Méthode complexe / 3 pts
- \((1+2i)\gamma=1\), \(\gamma=\dfrac{1-2i}{5}\) (1 pt).
- Partie réelle de \(\dfrac{(1-2i)(\cos2x+i\sin2x)}{5}\) : \(y_p=\dfrac{\cos2x+2\sin2x}{5}\) (1 pt).
- \(y(x)=\dfrac{\cos2x+2\sin2x}{5}+Ce^{-x}\) (1 pt).
Entraîne-toi : défi express de Licence L1
🚀 Zyro te conseille la suite
📝 Contrôles de mathsÉquations différentielles linéaires : contrôle de maths Licence L1
📘 Cours de mathsÉquations différentielles linéaires : cours de maths Licence L1
🎯 QCM de mathsÉquations différentielles linéaires : QCM de maths Licence L1
📝 Contrôles de mathsComplexes et polynômes : contrôle de maths Licence L1
📝 Contrôles de mathsArithmétique et structures : contrôle de maths Licence L1
📘 Cours de mathsComplexes et polynômes : cours de maths Licence L1