Prismes et volumes : exercices corrigés de maths 5ème

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Exercices corrigés de maths en 5ème : Prismes et volumes — Zyro, l’explorateur de Planète Maths

Corrigés rédigés des exercices du chapitre. Vérifie chaque étape, puis corrige-toi.

1 Vocabulaire du prisme ★★★

a) Il a 2 bases hexagonales et 6 faces latérales, soit \(2+6=8\) faces. Chaque base a 6 côtés, donc il y a \(6+6+6=18\) arêtes (6 par base et 6 arêtes latérales). Il y a \(6+6=12\) sommets.

b) Les faces latérales d’un prisme droit sont toutes des rectangles.

2 Reconnaître les solides ★★★

a) Cylindre (deux disques et une surface courbe). b) Prisme droit : un pavé. c) Aucun : c’est une boule. d) Prisme droit à base triangulaire. e) Aucun : une pyramide n’a qu’une base et ses faces latérales sont des triangles.

3 Volume d’une boîte de jeu ★★★

La base est un rectangle de \(7\) cm sur \(5\) cm, d’aire \(7\times 5=35\text{ cm}^2\). Donc \(V=35\times 4=140\text{ cm}^3\).

Le volume de la boîte est de \(140\text{ cm}^3\).

4 Un bloc de savon ★★★

\(V=\mathcal{A}_{\text{base}}\times h=18\times 7=126\text{ cm}^3\).

Le bloc de savon a un volume de \(126\text{ cm}^3\).

5 Premières conversions ★★★

a) \(1\text{ L}=1\text{ dm}^3\), donc \(3{,}2\text{ L}=3{,}2\text{ dm}^3\).

b) \(4\,500\text{ cm}^3=4{,}5\text{ dm}^3=4{,}5\text{ L}\).

c) \(1\text{ m}^3=1\,000\text{ L}\), donc \(0{,}6\text{ m}^3=600\text{ L}\).

d) \(75\text{ cL}=0{,}75\text{ L}=0{,}75\text{ dm}^3=750\text{ cm}^3\).

6 Un pot à crayons ★★★

Le périmètre de la base vaut \(4\times 5=20\) cm, donc \(\mathcal{A}_{\text{lat}}=20\times 12=240\text{ cm}^2\).

L’aire d’une base est \(5\times 5=25\text{ cm}^2\), donc \(\mathcal{A}_{\text{totale}}=240+2\times 25=290\text{ cm}^2\).

7 Vrai ou faux ? ★★★

a) Faux : seules les faces latérales sont des rectangles ; les bases peuvent être des triangles, des pentagones…

b) Vrai : \(5+2=7\) faces.

c) Vrai : c’est la définition du litre.

d) Faux : \(1\text{ m}^3=1\,000\text{ dm}^3=1\,000\text{ L}\).

8 Une tente de jardin ★★★

Aire du pignon : \(\dfrac{2\times 1{,}5}{2}=1{,}5\text{ m}^2\). Volume : \(V=1{,}5\times 3=4{,}5\text{ m}^3\).

Comme \(1\text{ m}^3=1\,000\text{ L}\), \(4{,}5\text{ m}^3=4\,500\text{ L}\).

Le volume de la tente est de \(4{,}5\text{ m}^3\), soit \(4\,500\) litres d’air.

9 Un bidon cylindrique ★★★

Le diamètre est \(20\) cm, donc le rayon est \(10\) cm.

\(V=\pi\times 10^2\times 35=3\,500\pi\approx 10\,996\text{ cm}^3\).

Comme \(1\,000\text{ cm}^3=1\text{ L}\) : \(10\,996\text{ cm}^3\approx 11{,}0\text{ L}\).

Le bidon contient environ \(11{,}0\) litres.

10 Patron et aires ★★★

a) Le patron comprend deux triangles rectangles de côtés \(5\), \(12\) et \(13\) cm, et trois rectangles : \(5\times 8\), \(12\times 8\) et \(13\times 8\) (en cm). Côte à côte, ils forment un rectangle de \(30\) cm sur \(8\) cm.

b) Le périmètre de la base est \(5+12+13=30\) cm, donc \(\mathcal{A}_{\text{lat}}=30\times 8=240\text{ cm}^2\) (on retrouve \(40+96+104=240\)).

c) Aire d’une base : \(\dfrac{5\times 12}{2}=30\text{ cm}^2\). \(\mathcal{A}_{\text{totale}}=240+2\times 30=300\text{ cm}^2\).

11 Le bassin du jardin ★★★

Le trapèze a pour bases \(1\) m et \(2{,}2\) m, et pour hauteur \(10\) m (la longueur du bassin) : \(\dfrac{(1+2{,}2)\times 10}{2}=16\text{ m}^2\).

La hauteur du prisme est la largeur : \(V=16\times 5=80\text{ m}^3=80\,000\text{ L}\).

Le bassin plein contient \(80\text{ m}^3\), soit \(80\,000\) litres.

12 L’étiquette d’une boîte ★★★

L’étiquette est un rectangle de hauteur \(11\) cm et de longueur égale au périmètre d’un disque de base : \(2\pi\times 4=8\pi\approx 25{,}13\) cm.

Son aire est \(\mathcal{A}_{\text{lat}}=8\pi\times 11=88\pi\approx 276{,}46\text{ cm}^2\), soit environ \(276\text{ cm}^2\).

13 Un aquarium ★★★

a) \(V=60\times 30\times 40=72\,000\text{ cm}^3=72\text{ dm}^3=72\text{ L}\).

b) \(\dfrac{3}{4}\times 72=54\) L.

c) \(54\div 9=6\). Il faut verser 6 seaux de 9 L.

14 Hauteur d’une boîte de glace ★★★

\(1{,}5\text{ L}=1{,}5\text{ dm}^3=1\,500\text{ cm}^3\). L’aire de la base est \(15\times 10=150\text{ cm}^2\).

Comme \(V=\mathcal{A}_{\text{base}}\times h\), on a \(h=\dfrac{V}{\mathcal{A}_{\text{base}}}=\dfrac{1\,500}{150}=10\) cm.

La boîte mesure \(10\) cm de haut.

15 Un bloc en L ★★★

a) \(\mathcal{A}_{\text{base}}=8\times 5-3\times 3=40-9=31\text{ cm}^2\).

b) \(V=31\times 6=186\text{ cm}^3\).

c) En suivant le contour du « L », les six côtés mesurent \(5\), \(3\), \(3\), \(2\), \(8\) et \(5\) cm : le périmètre vaut \(26\) cm. On pouvait aussi remarquer que retirer un coin ne change pas le périmètre du rectangle de départ : \(2\times(8+5)=26\) cm. Ainsi \(\mathcal{A}_{\text{lat}}=26\times 6=156\text{ cm}^2\) et \(\mathcal{A}_{\text{totale}}=156+2\times 31=218\text{ cm}^2\).

16 Un tuyau ★★★

Rayon extérieur : \(5\) cm ; rayon intérieur : \(4\) cm.

Volume du cylindre plein : \(\pi\times 5^2\times 20=500\pi\). Volume du vide intérieur : \(\pi\times 4^2\times 20=320\pi\).

Volume de matière : \(500\pi-320\pi=180\pi\approx 565\text{ cm}^3\).

17 Le cylindre dans sa boîte ★★★

Volume du verre : \(\pi\times 3^2\times 10=90\pi\approx 282{,}74\text{ cm}^3\).

Volume de la boîte : \(6\times 6\times 10=360\text{ cm}^3\).

Volume vide : \(360-282{,}74=77{,}26\text{ cm}^3\), soit \(\dfrac{77{,}26}{360}\approx 0{,}215\) de la boîte.

Environ \(21{,}5\ \%\) de la boîte reste vide.

18 Remplir un réservoir ★★★

\(V=\pi\times 1{,}5^2\times 4=9\pi\approx 28{,}27\text{ m}^3\), soit environ \(28\,274\) L.

Durée : \(\dfrac{28\,274}{120}\approx 235{,}6\) minutes. Or \(235{,}6=3\times 60+55{,}6\).

Il faut environ 3 h 56 min pour remplir le réservoir.

19 Lire un dessin en perspective ★★★

a) Le sommet \(D\) est caché : les arêtes \([DA]\), \([DE]\) et \([DF]\) sont en pointillés.

b) \(ABED\) est une face latérale d’un prisme droit : c’est un rectangle (\(6\) cm sur \(9\) cm). Le triangle \(DEF\) est la seconde base, superposable à \(ABC\) : c’est un triangle rectangle en \(D\).

c) \(\mathcal{A}_{\text{base}}=\dfrac{6\times 4}{2}=12\text{ cm}^2\), puis \(V=12\times 9=108\text{ cm}^3\).