Une brique de lait, une canette, une tente de camping, un aquarium : autour de toi, les solides sont partout ! Dans ce chapitre, tu vas apprendre à les décrire, à les dessiner en perspective, à fabriquer leur patron, puis à calculer leur aire latérale et leur volume, c’est-à-dire la place qu’ils occupent ou la quantité de liquide qu’ils peuvent contenir.
1. Prisme droit et cylindre
Un prisme droit est un solide qui possède deux bases : des polygones superposables situés dans deux plans parallèles. Ses autres faces, appelées faces latérales, sont toutes des rectangles. La distance entre les deux bases est la hauteur du prisme.
Un prisme prend le nom de sa base : si la base est un triangle, c’est un prisme à base triangulaire ; si la base est un rectangle, c’est un pavé droit ; si la base est un carré et que la hauteur est égale au côté, c’est un cube. Pour une base à \(n\) côtés, le prisme droit possède :
| Base | Faces | Arêtes | Sommets |
|---|---|---|---|
| triangle | 5 | 9 | 6 |
| quadrilatère | 6 | 12 | 8 |
| pentagone | 7 | 15 | 10 |
| polygone à \(n\) côtés | \(n+2\) | \(3n\) | \(2n\) |
Un cylindre est un solide qui possède deux bases qui sont des disques superposables dans deux plans parallèles, reliés par une surface courbe. Le rayon \(r\) est celui des disques ; la hauteur \(h\) est la distance entre les deux disques.
Le cylindre ressemble à un prisme qui aurait une infinité de faces latérales : c’est pourquoi ses formules ressemblent tellement à celles du prisme.
2. Patron d’un prisme droit
Un patron est une figure plane qui, une fois découpée et pliée, permet de reconstituer le solide. Il montre toutes les faces en vraie grandeur.
Le patron d’un prisme droit se compose de deux bases et d’un grand rectangle latéral (ou de plusieurs rectangles côte à côte) dont la hauteur est celle du prisme et dont la longueur est égale au périmètre de la base.
Un prisme droit de hauteur \(6\) cm a pour base un triangle de côtés \(3\) cm, \(4\) cm et \(5\) cm. Son patron comprend deux triangles et trois rectangles : \(3\times 6\), \(4\times 6\) et \(5\times 6\).
Mis bout à bout, les trois rectangles forment un grand rectangle de longueur \(3+4+5=12\) cm, le périmètre de la base, et de hauteur \(6\) cm.
3. Représentation en perspective cavalière
Dessiner un solide sur une feuille, c’est le représenter en perspective cavalière. Voici les règles du jeu :
- Les faces situées dans le plan de face (vu de face) sont dessinées en vraie grandeur.
- Les arêtes qui partent vers l’arrière, appelées fuyantes, sont dessinées obliques et raccourcies.
- Les arêtes parallèles dans la réalité restent parallèles sur le dessin, et les points alignés restent alignés.
- Les arêtes cachées se tracent en pointillés, les arêtes visibles en trait plein.
Ici, la face avant est un rectangle tracé en vraie grandeur, et les quatre arêtes fuyantes sont parallèles et raccourcies. Les trois arêtes qui partent du sommet situé à l’arrière, en bas à gauche, sont cachées : elles sont dessinées en pointillés.
Sur un dessin en perspective, un angle droit n’a pas toujours l’air droit et deux longueurs égales peuvent sembler différentes. Fie-toi aux codages et aux mesures indiquées, pas à l’aspect du dessin.
4. Aire latérale et aire totale
L’aire latérale d’un prisme droit est l’aire de l’ensemble de ses faces latérales. On la calcule avec le périmètre de la base : \[ \mathcal{A}_{\text{lat}} = \text{périmètre de la base} \times h \]
Pour un cylindre de rayon \(r\) et de hauteur \(h\), le rectangle du patron mesure \(2\pi r\) sur \(h\) : \[ \mathcal{A}_{\text{lat}} = 2\pi r \times h \]
L’aire totale d’un solide est la somme de l’aire latérale et des aires des deux bases : \[ \mathcal{A}_{\text{totale}} = \mathcal{A}_{\text{lat}} + 2\times \mathcal{A}_{\text{base}} \]
Prisme. Le prisme a pour base le triangle de côtés \(3\), \(4\) et \(5\) cm et pour hauteur \(6\) cm. Le périmètre de la base vaut \(3+4+5=12\) cm, donc \(\mathcal{A}_{\text{lat}}=12\times 6=72\text{ cm}^2\). La base est un triangle rectangle d’aire \(\dfrac{3\times 4}{2}=6\text{ cm}^2\), donc \(\mathcal{A}_{\text{totale}}=72+2\times 6=84\text{ cm}^2\).
Cylindre. Pour \(r=2{,}5\) cm et \(h=10\) cm : \(\mathcal{A}_{\text{lat}}=2\pi\times 2{,}5\times 10=50\pi\approx 157{,}08\text{ cm}^2\).
5. Volume d’un prisme droit
Pour mesurer un volume, on compte combien de cubes unités on peut ranger dedans. Prenons un pavé de 4 cm sur 3 cm sur 2 cm : on le remplit de cubes de 1 cm d’arête.
Chaque couche contient \(4\times 3=12\) cubes (c’est l’aire de la base, en \(\text{cm}^2\)), et il y a \(2\) couches (c’est la hauteur). Au total : \(12\times 2=24\) cubes, soit \(24\text{ cm}^3\). Cette idée de « couches empilées » marche pour tous les prismes droits.
\[ V = \mathcal{A}_{\text{base}} \times h \]
L’aire de la base et la hauteur doivent être exprimées dans la même unité de longueur.
- Identifie la base et calcule son aire (rectangle, triangle, trapèze…).
- Repère la hauteur du prisme (pas la hauteur du triangle de la base !).
- Multiplie : \(V=\mathcal{A}_{\text{base}}\times h\).
- Écris la phrase-réponse avec l’unité de volume.
Un prisme droit de hauteur \(10\) cm a pour base un triangle rectangle dont les côtés de l’angle droit mesurent \(6\) cm et \(8\) cm.
Aire de la base : \(\dfrac{6\times 8}{2}=24\text{ cm}^2\). Volume : \(V=24\times 10=240\text{ cm}^3\).
La base est un trapèze de bases \(7\) cm et \(3\) cm et de hauteur \(4\) cm ; le prisme mesure \(5\) cm de haut. Aire de la base : \(\dfrac{(7+3)\times 4}{2}=20\text{ cm}^2\) ; volume : \(V=20\times 5=100\text{ cm}^3\).
6. Volume d’un cylindre
La base est un disque d’aire \(\pi r^2\). Comme pour le prisme : \[ V = \pi r^2 \times h \]
Un cylindre a pour rayon \(3\) cm et pour hauteur \(8\) cm. Alors \(V=\pi\times 3^2\times 8=72\pi\text{ cm}^3\), soit environ \(226{,}19\text{ cm}^3\) au centième près.
La formule utilise le rayon, pas le diamètre. Si l’énoncé donne un diamètre de \(10\) cm, le rayon est \(5\) cm. Et le rayon est élevé au carré : \(\pi r^2\) n’est pas \(\pi\times 2r\).
7. Unités de volume et contenance
Un volume s’exprime en mètres cubes (\(\text{m}^3\)), décimètres cubes (\(\text{dm}^3\)), centimètres cubes (\(\text{cm}^3\))… Entre deux unités de volume consécutives, on multiplie ou on divise par \(1\,000\) (car \(10\times 10\times 10=1\,000\)). La contenance d’un récipient se mesure en litres.
| Unité de volume | Équivalence | Unité de contenance | Équivalence |
|---|---|---|---|
| \(1\text{ m}^3\) | \(1\,000\text{ dm}^3\) | 1 hL | 100 L |
| \(1\text{ dm}^3\) | \(1\,000\text{ cm}^3\) | 1 L | 10 dL = 100 cL = 1 000 mL |
| \(1\text{ cm}^3\) | \(1\,000\text{ mm}^3\) | 1 mL | \(1\text{ cm}^3\) |
\(1\text{ dm}^3 = 1\text{ L}\), \(1\text{ cm}^3 = 1\text{ mL}\) et \(1\text{ m}^3 = 1\,000\text{ L}\).
\(2{,}5\text{ L}=2{,}5\text{ dm}^3=2\,500\text{ cm}^3\). Et \(3{,}4\text{ m}^3=3\,400\text{ dm}^3=3\,400\text{ L}\). Pour le cylindre de l’exemple 5 : \(226{,}19\text{ cm}^3=226{,}19\text{ mL}\approx 0{,}23\text{ L}\).
Pour passer des litres aux centimètres cubes, pense au cube de 1 dm d’arête : il contient 1 L et 1 000 petits cubes de 1 cm. Un litre, c’est donc 1 000 cm³ !
À retenir
- Un prisme droit a deux bases polygonales superposables et des faces latérales rectangulaires ; un cylindre a deux bases circulaires.
- Le patron d’un prisme droit contient un rectangle latéral de longueur égale au périmètre de la base.
- En perspective cavalière : vraie grandeur dans le plan de face, arêtes fuyantes raccourcies, arêtes cachées en pointillés.
- \(\mathcal{A}_{\text{lat}}=\text{périmètre de la base}\times h\) (prisme) et \(\mathcal{A}_{\text{lat}}=2\pi r h\) (cylindre).
- \(V=\mathcal{A}_{\text{base}}\times h\) pour un prisme droit et \(V=\pi r^2 h\) pour un cylindre.
- \(1\text{ dm}^3=1\text{ L}\), \(1\text{ cm}^3=1\text{ mL}\), \(1\text{ m}^3=1\,000\text{ L}\).
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