Fractions : cours de maths 5ème

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Cours de maths en 5ème : Fractions — Zyro, l’explorateur de Planète Maths

Une pizza partagée entre amis, une recette qui demande trois quarts de litre de lait, un score de 7 questions justes sur 8 : les fractions sont partout. En 6ème, tu as appris à les lire et à les placer ; cette année, tu vas apprendre à les reconnaître comme des quotients, à les simplifier, à les comparer et à calculer avec elles.

Sommaire

1. Une fraction est un quotient

Fraction

Soit $a$ un nombre entier et $b$ un entier non nul. La fraction $\dfrac{a}{b}$ est le quotient de $a$ par $b$, c’est-à-dire le nombre qui, multiplié par $b$, donne $a$. On écrit $\dfrac{a}{b} = a \div b$.

$a$ est le numérateur et $b$ est le dénominateur.

Le dénominateur indique en combien de parts égales on partage l’unité ; le numérateur indique combien de parts on prend. Mais une fraction, c’est aussi une division qui n’est pas encore effectuée : $\dfrac{3}{4} = 3 \div 4 = 0{,}75$.

Exemple 1

Trois tablettes de chocolat sont partagées équitablement entre quatre enfants. Chaque enfant reçoit $3 \div 4 = \dfrac{3}{4}$ de tablette, soit $0{,}75$ tablette.

Quand le numérateur est plus grand que le dénominateur, la fraction est supérieure à $1$ : $\dfrac{7}{4} = \dfrac{4}{4} + \dfrac{3}{4} = 1 + \dfrac{3}{4}$.

Attention

Le dénominateur ne peut jamais être égal à $0$ : on ne sait pas partager en zéro part.

2. Des fractions égales

Sur la figure, la même longueur est colorée : $\dfrac{2}{3}$ de la première bande et $\dfrac{4}{6}$ de la seconde. Ces deux fractions représentent le même nombre.

Propriété

On ne change pas la valeur d’une fraction quand on multiplie ou quand on divise son numérateur et son dénominateur par un même nombre non nul :

\[ \dfrac{a}{b} = \dfrac{a \times k}{b \times k} \qquad \text{et} \qquad \dfrac{a}{b} = \dfrac{a \div k}{b \div k}. \]

Exemple 2

Complète : $\dfrac{5}{8} = \dfrac{\ldots}{24}$.

Comme $24 = 8 \times 3$, on multiplie aussi le numérateur par $3$ : $\dfrac{5}{8} = \dfrac{5 \times 3}{8 \times 3} = \dfrac{15}{24}$.

Attention

On multiplie ou on divise, mais on n’ajoute jamais le même nombre en haut et en bas : $\dfrac{2}{3}$ n’est pas égal à $\dfrac{4}{5}$.

3. Simplifier une fraction

Fraction irréductible

Une fraction est irréductible quand on ne peut plus la simplifier, c’est-à-dire quand son numérateur et son dénominateur n’ont aucun diviseur commun autre que $1$.

Méthode

Cherche un diviseur commun au numérateur et au dénominateur (pense aux critères de divisibilité par $2$, $3$, $5$, $9$, $10$).
Divise les deux termes par ce nombre.
Recommence jusqu’à obtenir une fraction irréductible.

Exemple 3

Simplifie $\dfrac{36}{48}$.

Les deux nombres sont divisibles par $12$ : $\dfrac{36}{48} = \dfrac{36 \div 12}{48 \div 12} = \dfrac{3}{4}$. Et $\dfrac{3}{4}$ est irréductible.

On peut aussi y aller par étapes : $\dfrac{36}{48} = \dfrac{18}{24} = \dfrac{9}{12} = \dfrac{3}{4}$.

Astuce de Zyro

Sur ma planète, on ne s’arrête jamais à la première simplification : vérifie toujours si le numérateur et le dénominateur sont encore tous les deux pairs, ou tous les deux dans la table de $3$ !

4. Comparer des fractions

Propriétés

Deux fractions de même dénominateur sont rangées dans le même ordre que leurs numérateurs : $\dfrac{5}{9} < \dfrac{7}{9}$.
Deux fractions de même numérateur sont rangées dans l’ordre inverse de leurs dénominateurs : $\dfrac{3}{5} > \dfrac{3}{7}$ (des parts plus grandes quand on partage en moins de morceaux).
Une fraction est inférieure à $1$ si son numérateur est plus petit que son dénominateur, supérieure à $1$ sinon.

Sur la droite graduée, plus un nombre est à droite, plus il est grand : $\dfrac{3}{4} < \dfrac{5}{4} < \dfrac{3}{2}$.

Pour comparer deux fractions de dénominateurs différents, on les met d’abord au même dénominateur.

Exemple 4

Compare $\dfrac{5}{6}$ et $\dfrac{7}{9}$.

Le plus petit multiple commun de $6$ et $9$ est $18$. $\dfrac{5}{6} = \dfrac{15}{18}$ et $\dfrac{7}{9} = \dfrac{14}{18}$. Comme $15 > 14$, on a $\dfrac{5}{6} > \dfrac{7}{9}$.

5. Trouver un dénominateur commun

Pour additionner, soustraire ou comparer deux fractions, on a besoin qu’elles aient le même dénominateur.

Méthode

Cherche un multiple commun aux deux dénominateurs, de préférence le plus petit.
Écris chaque fraction avec ce dénominateur, en multipliant le numérateur par le même nombre que le dénominateur.

Exemple 5

Mets $\dfrac{3}{4}$ et $\dfrac{5}{6}$ au même dénominateur.

Les multiples de $4$ sont $4, 8, 12, \ldots$ ; ceux de $6$ sont $6, 12, \ldots$. Le dénominateur commun est $12$ : $\dfrac{3}{4} = \dfrac{9}{12}$ et $\dfrac{5}{6} = \dfrac{10}{12}$.

Si un dénominateur est multiple de l’autre, c’est encore plus simple : on ne transforme que l’une des deux fractions. Par exemple, $\dfrac{3}{5}$ et $\dfrac{7}{10}$ deviennent $\dfrac{6}{10}$ et $\dfrac{7}{10}$.

6. Additionner des fractions

Propriété

Pour additionner deux fractions de même dénominateur, on additionne les numérateurs et on garde le dénominateur :

\[ \dfrac{a}{c} + \dfrac{b}{c} = \dfrac{a + b}{c}. \]

Si les dénominateurs sont différents, on commence par les rendre égaux, comme sur la figure : $\dfrac{1}{2} + \dfrac{1}{3} = \dfrac{3}{6} + \dfrac{2}{6} = \dfrac{5}{6}$.

Exemple 6

Calcule $\dfrac{5}{6} + \dfrac{3}{4}$.

$\dfrac{5}{6} + \dfrac{3}{4} = \dfrac{10}{12} + \dfrac{9}{12} = \dfrac{19}{12}$. On peut aussi écrire $\dfrac{19}{12} = 1 + \dfrac{7}{12}$.

Erreur classique

On n’additionne jamais les dénominateurs : $\dfrac{1}{3} + \dfrac{1}{4}$ ne vaut pas $\dfrac{2}{7}$, mais $\dfrac{4}{12} + \dfrac{3}{12} = \dfrac{7}{12}$.

7. Soustraire des fractions

La soustraction suit exactement la même règle : même dénominateur, on soustrait les numérateurs et on garde le dénominateur.

Exemple 7

Calcule $\dfrac{7}{6} - \dfrac{3}{4}$.

$\dfrac{7}{6} - \dfrac{3}{4} = \dfrac{14}{12} - \dfrac{9}{12} = \dfrac{5}{12}$.

Exemple 8

Calcule $3 - \dfrac{2}{5}$.

On écrit $3$ avec le dénominateur $5$ : $3 = \dfrac{15}{5}$. Donc $3 - \dfrac{2}{5} = \dfrac{15}{5} - \dfrac{2}{5} = \dfrac{13}{5}$.

Pense à simplifier le résultat quand c’est possible : $\dfrac{7}{10} - \dfrac{1}{10} = \dfrac{6}{10} = \dfrac{3}{5}$.

8. Prendre une fraction d’une quantité

Propriété

Prendre $\dfrac{a}{b}$ d’une quantité, c’est diviser la quantité par $b$ puis multiplier le résultat par $a$ :

\[ \dfrac{a}{b} \text{ de } Q = Q \div b \times a. \]

Exemple 9

Calcule les $\dfrac{3}{8}$ de $56$ élèves.

On partage $56$ en $8$ parts : $56 \div 8 = 7$. On en prend $3$ : $3 \times 7 = 21$. Les $\dfrac{3}{8}$ de $56$ valent $21$.

La figure illustre le même principe avec $\dfrac{3}{5}$ de $20$ : chaque part vaut $20 \div 5 = 4$, et trois parts valent $12$. Pour trouver ce qui reste, on peut soit soustraire, soit calculer la fraction complémentaire : il reste $1 - \dfrac{3}{5} = \dfrac{2}{5}$ de $20$, soit $8$.

À retenir

$\dfrac{a}{b}$ est le quotient de $a$ par $b$ ($b \neq 0$) : $\dfrac{3}{4} = 3 \div 4 = 0{,}75$.
On obtient une fraction égale en multipliant ou en divisant numérateur et dénominateur par le même nombre non nul.
Pour simplifier, on divise les deux termes par un diviseur commun, jusqu’à la fraction irréductible.
Pour comparer, on utilise le même dénominateur (le plus grand numérateur gagne) ou la comparaison à $1$.
Pour additionner ou soustraire, on met d’abord au même dénominateur, puis on calcule sur les numérateurs et on garde le dénominateur.
Pour prendre une fraction d’une quantité, on divise par le dénominateur puis on multiplie par le numérateur.