Géométrie dans l'espace : exercices corrigés de maths 3ème à télécharger en PDF

1 Une boîte de conserve ★★★

\(V = \pi \times r^2 \times h = \pi \times 4^2 \times 11 = 176\pi\) cm³ (valeur exacte).

Avec la calculatrice, \(V \approx 552{,}9\) cm³.

Comme \(1\) cm³ \(= 1\) mL, la boîte contient environ \(553\) mL.

2 Pyramide à base carrée ★★★

L’aire de la base est \(B = 6 \times 6 = 36\) cm².

\(V = \dfrac{1}{3} \times B \times h = \dfrac{1}{3} \times 36 \times 10 = 120\) cm³.

Le volume de la pyramide est \(120\) cm³.

3 Un cône ★★★

\(V = \dfrac{1}{3} \times \pi \times 3^2 \times 7 = \dfrac{1}{3} \times 63\pi = 21\pi\) cm³.

Valeur approchée : \(V \approx 66{,}0\) cm³.

4 Une boule ★★★

\(V = \dfrac{4}{3} \times \pi \times 3^3 = \dfrac{4}{3} \times 27\pi = 36\pi\) cm³.

Valeur approchée : \(V \approx 113{,}1\) cm³.

5 Aire d’une sphère ★★★

\(\mathcal{A} = 4 \times \pi \times 5^2 = 100\pi\) cm².

Valeur approchée : \(\mathcal{A} \approx 314{,}2\) cm².

6 Conversions ★★★

1. \(3{,}5\) L \(= 3{,}5\) dm³ \(= 3\,500\) cm³.
2. \(2\,500\,000\) cm³ \(= 2{,}5\) m³ (car \(1\) m³ \(= 1\,000\,000\) cm³).
3. \(0{,}75\) m³ \(= 750\) dm³ \(= 750\) L.
4. \(45\) cL \(= 0{,}45\) L \(= 0{,}45\) dm³ \(= 450\) cm³.
5. \(0{,}6\) dm³ \(= 0{,}6\) L \(= 600\) mL.

7 Sections : vrai ou faux ? ★★★

1. Vrai : c’est un disque de même rayon que les bases.
2. Vrai : on obtient un rectangle dont un côté est la hauteur du cylindre et l’autre le diamètre.
3. Faux : c’est une réduction de la base (même forme, mais plus petit).
4. Vrai : toute section d’une boule est un disque (éventuellement très petit).
5. Vrai : le plan coupe le pavé en un rectangle superposable à la face.

8 Lire des coordonnées sur le globe ★★★

1. \(A\) : Nord et Est ; \(B\) : Sud et Est ; \(C\) : Nord et Ouest ; \(D\) : latitude \(0^\circ\), donc sur l’équateur (ni Nord ni Sud), et à l’Est.
2. \(A\) et \(B\) ont la même longitude \(20^\circ\) E : ils sont sur le même méridien.
3. \(A\) et \(C\) ont la même latitude \(35^\circ\) N : ils sont sur le même parallèle.
4. Le point \(D\), de latitude \(0^\circ\).

9 Un bocal rempli en partie ★★★

Le rayon est \(20 \div 2 = 10\) cm. L’eau forme un cylindre de rayon \(10\) cm et de hauteur \(15\) cm.

\(V = \pi \times 10^2 \times 15 = 1\,500\pi\) cm³ \(\approx 4\,712{,}4\) cm³.

Or \(1\,000\) cm³ \(= 1\) L, donc \(V \approx 4{,}7\) L.

10 Hauteur d’une pyramide ★★★

L’aire de la base est \(B = 6 \times 8 = 48\) cm².

On a \(V = \dfrac{1}{3} \times 48 \times h = 16h\). Comme \(V = 96\), on obtient \(16h = 96\), donc \(h = 6\) cm.

La pyramide mesure \(6\) cm de hauteur.

11 Cornet de glace ★★★

1. \(V_{cornet} = \dfrac{1}{3} \times \pi \times 2{,}5^2 \times 10 = \dfrac{62{,}5\pi}{3} \approx 65{,}4\) cm³.
2. \(V_{glace} = \dfrac{4}{3} \times \pi \times 2^3 = \dfrac{32\pi}{3} \approx 33{,}5\) cm³.
3. Comme \(33{,}5 < 65{,}4\), le cornet peut contenir la glace fondue (il sera rempli à peu près à moitié, sans déborder).

12 Un ballon de plage ★★★

Le rayon est \(r = 22 \div 2 = 11\) cm.

Aire : \(\mathcal{A} = 4\pi \times 11^2 = 484\pi \approx 1\,521\) cm².

Volume : \(V = \dfrac{4}{3}\pi \times 11^3 = \dfrac{5\,324\pi}{3} \approx 5\,575{,}3\) cm³, soit \(5{,}6\) L environ (car \(1\,000\) cm³ \(= 1\) L).

13 Maquette d’un réservoir ★★★

1. Les longueurs sont multipliées par \(20\) : \(24 \times 20 = 480\) cm \(= 4{,}8\) m.
2. Les volumes sont multipliés par \(20^3 = 8\,000\). Or \(600\) mL \(= 600\) cm³. Donc \(600 \times 8\,000 = 4\,800\,000\) cm³ \(= 4{,}8\) m³.

14 Section d’une pyramide ★★★

1. La section est un carré, réduction de la base.
2. \(k = \dfrac{4}{12} = \dfrac{1}{3}\).
3. Côté : \(9 \times \dfrac{1}{3} = 3\) cm ; aire : \(3^2 = 9\) cm² (aussi \(81 \times k^2 = 81 \times \dfrac{1}{9} = 9\) cm²).
4. Avec la formule : \(V = \dfrac{1}{3} \times 9 \times 4 = 12\) cm³. Avec \(k^3\) : le grand volume vaut \(\dfrac{1}{3} \times 81 \times 12 = 324\) cm³, et \(324 \times \dfrac{1}{27} = 12\) cm³. Les deux méthodes concordent.

15 Remplir une piscine ★★★

1. \(V = 8 \times 4 \times 1{,}5 = 48\) m³ \(= 48\,000\) L (car \(1\) m³ \(= 1\,000\) L).
2. \(48\,000 \div 600 = 80\) minutes, soit \(1\) h \(20\) min.

16 Un silo ★★★

1. Cylindre : \(\pi \times 3^2 \times 8 = 72\pi\) m³. Cône : \(\dfrac{1}{3} \times \pi \times 3^2 \times 2 = 6\pi\) m³. Total : \(72\pi + 6\pi = 78\pi\) m³ \(\approx 245\) m³.
2. \(78\pi \times 0{,}75 = 58{,}5\pi \approx 183{,}8\) tonnes, soit environ \(184\) tonnes.

17 Cône coupé : un tronc ★★★

1. \(k = \dfrac{4}{12} = \dfrac{1}{3}\), donc le rayon de la section est \(6 \times \dfrac{1}{3} = 2\) cm.
2. Grand cône : \(\dfrac{1}{3}\pi \times 6^2 \times 12 = 144\pi\) cm³. Petit cône : \(\dfrac{1}{3}\pi \times 2^2 \times 4 = \dfrac{16\pi}{3}\) cm³.
3. \(\dfrac{16\pi/3}{144\pi} = \dfrac{16}{432} = \dfrac{1}{27}\) et \(k^3 = \left(\dfrac{1}{3}\right)^3 = \dfrac{1}{27}\) : c’est cohérent.
4. Tronc : \(144\pi - \dfrac{16\pi}{3} = \dfrac{416\pi}{3} \approx 435{,}6\) cm³.

18 Archimède : la boule dans le cylindre ★★★

1. Cylindre : \(\pi \times 6^2 \times 12 = 432\pi\) cm³. Boule : \(\dfrac{4}{3}\pi \times 6^3 = 288\pi\) cm³.
2. \(\dfrac{288\pi}{432\pi} = \dfrac{2}{3}\) : la boule occupe les deux tiers du cylindre.
3. Espace vide : \(432\pi - 288\pi = 144\pi \approx 452{,}4\) cm³ (un tiers du cylindre).

19 Retrouver le rayon d’une boule ★★★

1. \(\dfrac{4}{3}\pi r^3 = 972\pi\), donc \(r^3 = 972 \times \dfrac{3}{4} = 729\), d’où \(r = 9\) cm car \(9^3 = 729\).
2. \(\mathcal{A} = 4\pi \times 9^2 = 324\pi \approx 1\,018\) cm².
3. Le rayon est divisé par \(2\) : \(k = \dfrac{1}{2}\), donc le volume est multiplié par \(k^3 = \dfrac{1}{8}\) : \(972\pi \div 8 = 121{,}5\pi\) cm³ (environ \(381{,}7\) cm³).

20 Autour du globe terrestre ★★★

1. \(2\pi R = 2\pi \times 6\,370 = 12\,740\pi \approx 40\,024\) km.
2. \(45^\circ\) est le huitième d’un tour (\(360 \div 45 = 8\)) : \(40\,024 \div 8 \approx 5\,003\) km.
3. \(\cos 60^\circ = 0{,}5\), donc le rayon du parallèle est \(6\,370 \times 0{,}5 = 3\,185\) km et sa longueur est \(2\pi \times 3\,185 = 6\,370\pi \approx 20\,012\) km : la moitié de l’équateur.

21 Section d’une sphère ★★★

1. Le triangle \(OO’M\) est rectangle en \(O’\) (\(M\) sur le cercle de section). D’après le théorème de Pythagore, \(O’M^2 = OM^2 - OO’^2 = 13^2 - 5^2 = 169 - 25 = 144\), donc \(O’M = 12\) cm.
2. \(\mathcal{A} = \pi \times 12^2 = 144\pi \approx 452\) cm².

22 Une pyramide de verre et sa maquette ★★★

1. \(V = \dfrac{1}{3} \times 35^2 \times 21 = \dfrac{1}{3} \times 1\,225 \times 21 = 8\,575\) m³.
2. Côté : \(35 \div 70 = 0{,}5\) m ; hauteur : \(21 \div 70 = 0{,}3\) m.
3. Avec la formule : \(\dfrac{1}{3} \times 0{,}5^2 \times 0{,}3 = \dfrac{1}{3} \times 0{,}25 \times 0{,}3 = 0{,}025\) m³ \(= 25\) L. Avec \(k^3\) : \(70^3 = 343\,000\) et \(8\,575 \div 343\,000 = 0{,}025\) m³ \(= 25\) L. Les deux résultats sont identiques.