Probabilités conditionnelles : exercices corrigés de maths 1ère à télécharger en PDF

1 Lire un tableau croisé ★★★

(a) \(P(G)=\dfrac{60}{150}=\dfrac25\), \(P(S)=\dfrac{84}{150}=\dfrac{14}{25}\) et \(P(G\cap S)=\dfrac{36}{150}=\dfrac{6}{25}\).

(b) \(P_G(S)=\dfrac{36}{60}=\dfrac35\) : parmi les garçons, 60 % pratiquent un sport en club. \(P_S(G)=\dfrac{36}{84}=\dfrac37\) : parmi les élèves sportifs en club, environ 43 % sont des garçons. Les deux valeurs sont différentes.

2 Appliquer la définition ★★★

(a) \(P_A(B)=\dfrac{P(A\cap B)}{P(A)}=\dfrac{0{,}2}{0{,}5}=0{,}4\).

(b) \(P_B(A)=\dfrac{P(A\cap B)}{P(B)}=\dfrac{0{,}2}{0{,}25}=0{,}8\).

3 Vrai ou faux ? ★★★

(a) Vrai. \(P_A\) est une probabilité, donc \(P_A(\overline{B})=1-P_A(B)=0{,}7\).

(b) Faux. Avec un dé équilibré, \(A=\{2;4;6\}\) et \(B=\{2\}\) : \(P_A(B)=\dfrac13\) alors que \(P_B(A)=1\).

(c) Vrai. \(P_A(B)=\dfrac{0}{P(A)}=0\).

(d) Faux. Si \(A\cap B=\varnothing\), \(P(A\cap B)=0\) alors que \(P(A)P(B)>0\) : le produit n’est pas égal à la probabilité de l’intersection.

4 Un arbre à compléter ★★★

(a) \(P(B_1)=\dfrac{4}{10}\), \(P(O_1)=\dfrac{6}{10}\). Après un jeton bleu, il reste 9 jetons dont 3 bleus : \(P_{B_1}(B_2)=\dfrac39\), \(P_{B_1}(O_2)=\dfrac69\). Après un jeton orange, il reste 4 bleus et 5 oranges : \(P_{O_1}(B_2)=\dfrac49\), \(P_{O_1}(O_2)=\dfrac59\).

(b) \(P(O_1\cap O_2)=\dfrac{6}{10}\times\dfrac59=\dfrac{30}{90}=\dfrac13\).

5 Calculer une intersection ★★★

(a) \(P(R)=0{,}35\) et \(P_R(F)=0{,}6\).

(b) \(P(R\cap F)=P(R)\times P_R(F)=0{,}35\times 0{,}6=0{,}21\). \(P_R(\overline{F})=0{,}4\), donc \(P(R\cap\overline{F})=0{,}35\times 0{,}4=0{,}14\). On vérifie : \(0{,}21+0{,}14=0{,}35=P(R)\).

6 Un dé et l’indépendance ★★★

(a) \(A=\{2;4;6\}\), \(B=\{4;5;6\}\), \(A\cap B=\{4;6\}\) : \(P(A)=\dfrac12\), \(P(B)=\dfrac12\), \(P(A\cap B)=\dfrac26=\dfrac13\).

(b) \(P_A(B)=\dfrac{1/3}{1/2}=\dfrac23\).

(c) \(P(A)\times P(B)=\dfrac14\neq\dfrac13=P(A\cap B)\). Les événements ne sont pas indépendants (de même \(P_A(B)=\dfrac23\neq P(B)\)).

7 Reconnaître une partition ★★★

(a) Oui : trois parties non vides, disjointes, de réunion \(\Omega\).

(b) Non : le résultat 3 appartient aux deux événements, ils ne sont pas incompatibles.

(c) Non : le résultat 3 n’est dans aucun événement, la réunion n’est pas \(\Omega\).

(d) Oui : un nombre est pair ou impair, jamais les deux.

8 Contrôle qualité ★★★

(a) Premier niveau : \(X\) (0,55) et \(Y\) (0,45). Pour \(X\) : \(D\) (0,04) et \(\overline{D}\) (0,96). Pour \(Y\) : \(D\) (0,06) et \(\overline{D}\) (0,94).

(b) \(\{X,Y\}\) est une partition. \(P(D)=0{,}55\times 0{,}04+0{,}45\times 0{,}06=0{,}022+0{,}027=0{,}049\).

(c) \(P_D(X)=\dfrac{P(X\cap D)}{P(D)}=\dfrac{0{,}022}{0{,}049}=\dfrac{22}{49}\approx 0{,}449\).

9 Le filtre anti-spam ★★★

(a) \(P(S)=0{,}3\), \(P_S(D)=0{,}95\), \(P_{\overline{S}}(D)=0{,}02\). \(P(D)=0{,}3\times 0{,}95+0{,}7\times 0{,}02=0{,}285+0{,}014=0{,}299\).

(b) \(P_D(S)=\dfrac{0{,}285}{0{,}299}=\dfrac{285}{299}\approx 0{,}953\).

10 Compléter un tableau ★★★

(a) 60 % de 500 font 300 clients avec pain, dont \(\dfrac13\times 300=100\) avec viennoiserie et 200 sans. Il y a \(500-300=200\) clients sans pain, dont 70 avec viennoiserie et 130 sans.

(b) \(P_V(P)=\dfrac{100}{170}=\dfrac{10}{17}\approx 0{,}588\). \(P_{\overline{P}}(V)=\dfrac{70}{200}=0{,}35\).

11 Lunettes et indépendance ★★★

(a) \(P(L)=\dfrac{40}{120}=\dfrac13\), \(P(F)=\dfrac{72}{120}=\dfrac35\), \(P(L\cap F)=\dfrac{24}{120}=\dfrac15\).

(b) \(P(L)\times P(F)=\dfrac13\times\dfrac35=\dfrac15=P(L\cap F)\) : les événements sont indépendants.

(c) \(P_F(L)=\dfrac{24}{72}=\dfrac13\) et \(P_G(L)=\dfrac{16}{48}=\dfrac13\). Les deux sont égales à \(P(L)\) : la proportion d’élèves à lunettes est la même chez les filles et chez les garçons.

12 Trois façons d’aller au lycée ★★★

(a) Chaque jour, Léa utilise un et un seul mode : les événements sont incompatibles, non vides, et leur réunion est l’univers (\(0{,}5+0{,}3+0{,}2=1\)).

(b) \(P(R)=0{,}5\times 0{,}04+0{,}3\times 0{,}10+0{,}2\times 0{,}15=0{,}02+0{,}03+0{,}03=0{,}08\).

(c) \(P_R(\text{bus})=\dfrac{0{,}03}{0{,}08}=\dfrac38=0{,}375\).

13 Deux cartes sans remise ★★★

(a) \(P(\text{as, as})=\dfrac{4}{32}\times\dfrac{3}{31}=\dfrac{12}{992}=\dfrac{3}{248}\).

(b) L’événement contraire est « aucun as » : \(\dfrac{28}{32}\times\dfrac{27}{31}=\dfrac{756}{992}=\dfrac{189}{248}\). Donc \(P=1-\dfrac{189}{248}=\dfrac{59}{248}\approx 0{,}238\).

14 Retrouver une intersection ★★★

(a) \(P(A\cup B)=P(A)+P(B)-P(A\cap B)\), donc \(P(A\cap B)=0{,}4+0{,}5-0{,}7=0{,}2\).

(b) \(P_A(B)=\dfrac{0{,}2}{0{,}4}=0{,}5\).

(c) \(P(A)\times P(B)=0{,}4\times 0{,}5=0{,}2=P(A\cap B)\) : oui, ils sont indépendants (et \(P_A(B)=P(B)\)).

15 Pièce, urnes et deux tirages ★★★

(a) \(P(R_1)=\dfrac12\times\dfrac35+\dfrac12\times\dfrac15=0{,}3+0{,}1=0{,}4\). Avec remise, dans une urne fixée les deux tirages sont indépendants : \(P(R_1\cap R_2)=\dfrac12\times\left(\dfrac35\right)^2+\dfrac12\times\left(\dfrac15\right)^2=\dfrac12\times\dfrac{9}{25}+\dfrac12\times\dfrac{1}{25}=\dfrac{5}{25}=0{,}2\).

(b) \(P_{R_1}(R_2)=\dfrac{0{,}2}{0{,}4}=0{,}5\).

(c) Par symétrie \(P(R_2)=P(R_1)=0{,}4\neq 0{,}5=P_{R_1}(R_2)\). Les événements ne sont pas indépendants : obtenir une boule rouge au premier tirage rend l’urne \(U_1\) plus probable, donc augmente la chance d’une deuxième boule rouge.

16 Deux lancers francs ★★★

Notons \(S_1\), \(S_2\) les réussites. (a) \(P(S_1\cap S_2)=0{,}7\times 0{,}8=0{,}56\). \(P(\overline{S_1}\cap\overline{S_2})=0{,}3\times 0{,}5=0{,}15\).

(b) Exactement un : \(P(S_1\cap\overline{S_2})+P(\overline{S_1}\cap S_2)=0{,}7\times 0{,}2+0{,}3\times 0{,}5=0{,}14+0{,}15=0{,}29\). Contrôle : \(0{,}56+0{,}29+0{,}15=1\).

(c) \(\dfrac{P(S_1\cap\overline{S_2})}{0{,}29}=\dfrac{0{,}14}{0{,}29}=\dfrac{14}{29}\approx 0{,}483\).

17 Une propriété d’indépendance ★★★

(a) \(A\) est réunion disjointe de \(A\cap B\) et \(A\cap\overline{B}\), donc \(P(A\cap\overline{B})=P(A)-P(A\cap B)=P(A)-P(A)P(B)=P(A)\,(1-P(B))=P(A)\,P(\overline{B})\).

(b) \(P(A\cap\overline{B})=0{,}3\times 0{,}4=0{,}12\). En appliquant (a) à \(\overline{B}\) et \(A\), puis à \(\overline{B}\) et \(\overline{A}\) : \(P(\overline{A}\cap\overline{B})=0{,}7\times 0{,}4=0{,}28\).

18 Trouver une probabilité inconnue ★★★

(a) \(\{A,\overline{A}\}\) est une partition : \(P(B)=P(A)\,x+P(\overline{A})\times 0{,}2\), soit \(0{,}44=0{,}6x+0{,}4\times 0{,}2=0{,}6x+0{,}08\).

(b) \(0{,}6x=0{,}36\), donc \(x=0{,}6\). Alors \(P(A\cap B)=0{,}6\times 0{,}6=0{,}36\) et \(P_B(A)=\dfrac{0{,}36}{0{,}44}=\dfrac{9}{11}\approx 0{,}818\).

19 La quête quotidienne ★★★

(a) Le lundi étant réussi, \(P(M)=0{,}6\) et \(P(\overline{M})=0{,}4\).

(b) \(\{M,\overline{M}\}\) est une partition : \(P(W)=0{,}6\times 0{,}6+0{,}4\times 0{,}3=0{,}36+0{,}12=0{,}48\).

(c) \(P_W(M)=\dfrac{P(M\cap W)}{P(W)}=\dfrac{0{,}36}{0{,}48}=\dfrac34=0{,}75\).

20 Un test rare ★★★

(a) \(P(T)=0{,}02\times 0{,}98+0{,}98\times 0{,}05=0{,}0196+0{,}049=0{,}0686\).

(b) \(P_T(M)=\dfrac{0{,}0196}{0{,}0686}=\dfrac{2}{7}\approx 0{,}286\).

(c) Sur 10 000 personnes : 200 malades dont 196 positifs ; 9 800 sains dont 490 positifs. Il y a \(196+490=686\) tests positifs, dont 196 de malades : \(\dfrac{196}{686}=\dfrac27\). Malgré un test fiable, moins d’un test positif sur trois correspond à un malade, car la maladie est rare et les faux positifs sont nombreux.