Probabilités conditionnelles et indépendance : exercices corrigés de maths Terminale à télécharger en PDF

1 Lire un tableau d’effectifs ★★★

1. Théâtre : \(20+30=50\) élèves, musique : \(20+15=35\) élèves. Donc \(P(T)=\dfrac{50}{80}=\dfrac58\), \(P(M)=\dfrac{35}{80}=\dfrac7{16}\) et \(P(T\cap M)=\dfrac{20}{80}=\dfrac14\).
2. \(P_T(M)=\dfrac{P(T\cap M)}{P(T)}=\dfrac{1/4}{5/8}=\dfrac25\) et \(P_M(T)=\dfrac{1/4}{7/16}=\dfrac47\). On retrouve \(\dfrac{20}{50}\) et \(\dfrac{20}{35}\).

2 Formule du produit ★★★

1. \(P(A\cap B)=P(A)\times P_A(B)=0{,}4\times0{,}3=0{,}12\).
2. \(P_A(\overline{B})=1-0{,}3=0{,}7\), donc \(P(A\cap\overline{B})=0{,}4\times0{,}7=0{,}28\). On vérifie : \(0{,}12+0{,}28=0{,}4=P(A)\).

3 Compléter un arbre ★★★

1. \(P(\overline{R})=1-0{,}6=0{,}4\) ; \(P_R(\overline{S})=1-0{,}25=0{,}75\) ; \(P_{\overline{R}}(S)=1-0{,}9=0{,}1\).
2. \(P(R\cap S)=0{,}6\times0{,}25=0{,}15\) ; \(P(R\cap\overline{S})=0{,}6\times0{,}75=0{,}45\) ; \(P(\overline{R}\cap S)=0{,}4\times0{,}1=0{,}04\) ; \(P(\overline{R}\cap\overline{S})=0{,}4\times0{,}9=0{,}36\). La somme vaut \(0{,}15+0{,}45+0{,}04+0{,}36=1\).

4 Vrai ou faux ? ★★★

1. Faux. Dans l’exercice 1, \(P_T(M)=\dfrac25\) alors que \(P_M(T)=\dfrac47\).
2. Vrai : \(P_A\) est une probabilité, donc la somme d’un événement et de son contraire vaut 1.
3. Faux. Les deux probabilités conditionnelles n’ont pas à être complémentaires. Par exemple, si \(P_A(B)=0{,}3\) et \(P_{\overline{A}}(B)=0{,}1\), leur somme vaut \(0{,}4\) et non 1. Seuls \(P_A(B)\) et \(P_A(\overline{B})\) sont complémentaires.

5 Cartes et indépendance ★★★

1. Il y a 8 cœurs, \(3\times4=12\) figures, et 3 figures de cœur. Donc \(P(A)=\dfrac8{32}=\dfrac14\), \(P(B)=\dfrac{12}{32}=\dfrac38\), \(P(A\cap B)=\dfrac3{32}\).
2. \(P_A(B)=\dfrac{3/32}{1/4}=\dfrac38=P(B)\). Autre méthode : \(P(A)P(B)=\dfrac14\times\dfrac38=\dfrac3{32}=P(A\cap B)\). Les événements sont indépendants.

6 Lancers francs successifs ★★★

Les lancers étant indépendants, on multiplie. Deux réussites : \(0{,}7\times0{,}7=0{,}49\). Deux échecs : \(0{,}3\times0{,}3=0{,}09\). Exactement un succès : réussir puis rater, ou rater puis réussir, donc \(2\times0{,}7\times0{,}3=0{,}42\). Contrôle : \(0{,}49+0{,}09+0{,}42=1\).

7 Reconnaître une partition ★★★

1. Oui : deux à deux disjoints et leur réunion est \(\Omega\).
2. Oui : un nombre est pair ou impair, jamais les deux.
3. Non : 3 appartient aux deux événements, ils ne sont pas incompatibles.
4. Non : 3 n’appartient à aucun des deux, la réunion n’est pas \(\Omega\).

8 Un lot d’écouteurs ★★★

1. Premier niveau : \(X\) (0,6) et \(Y\) (0,4). Deuxième niveau : après \(X\), \(D\) (0,03) et \(\overline{D}\) (0,97) ; après \(Y\), \(D\) (0,06) et \(\overline{D}\) (0,94).
2. \(X\) et \(Y\) forment une partition : \(P(D)=0{,}6\times0{,}03+0{,}4\times0{,}06=0{,}018+0{,}024=0{,}042\).
3. \(P_D(Y)=\dfrac{P(Y\cap D)}{P(D)}=\dfrac{0{,}024}{0{,}042}=\dfrac47\approx0{,}571\). Il y a environ 57,1 % de chances qu’il vienne de l’usine \(Y\).

9 Le scanner de colis ★★★

1. \(P(O)=0{,}02\), \(P_O(A)=0{,}95\), \(P_{\overline{O}}(A)=0{,}1\). Par les probabilités totales : \(P(A)=0{,}02\times0{,}95+0{,}98\times0{,}1=0{,}019+0{,}098=0{,}117\).
2. \(P_A(O)=\dfrac{0{,}019}{0{,}117}=\dfrac{19}{117}\approx0{,}162\). Quand l’alarme sonne, il n’y a qu’environ 16 % de chances que le colis soit réellement suspect : les objets interdits sont rares, donc la plupart des alarmes sont de fausses alertes.

10 Météo du week-end ★★★

1. \(P(S\cap D)=0{,}3\times0{,}6=0{,}18\).
2. \(P(D)=P(S\cap D)+P(\overline{S}\cap D)=0{,}18+0{,}7\times0{,}2=0{,}18+0{,}14=0{,}32\).
3. \(P_D(S)=\dfrac{0{,}18}{0{,}32}=\dfrac9{16}=0{,}5625\).

11 Sondage au lycée : indépendance ★★★

1. \(P(C)=0{,}6\), \(P(B)=0{,}4\), \(P(C\cap B)=\dfrac{120}{500}=0{,}24\). Comme \(P(C)P(B)=0{,}24\), les événements sont indépendants.
2. \(P(C)=0{,}6\), \(P(B)=0{,}4\), \(P(C\cap B)=\dfrac{80}{400}=0{,}2\), alors que \(P(C)P(B)=0{,}24\neq0{,}2\). Ils ne sont pas indépendants : dans ce lycée, les élèves en bus mangent un peu moins souvent à la cantine.

12 Retrouver une probabilité ★★★

On a \(P(A\cup B)=P(A)+P(B)-P(A\cap B)\) et, par indépendance, \(P(A\cap B)=0{,}5\,P(B)\). Donc \(0{,}8=0{,}5+P(B)-0{,}5\,P(B)=0{,}5+0{,}5\,P(B)\), d’où \(P(B)=0{,}6\). Enfin \(P(A\cap B)=0{,}5\times0{,}6=0{,}3\). Vérification : \(0{,}5+0{,}6-0{,}3=0{,}8\).

13 Incompatibles ou indépendants ? ★★★

1. Si \(A\) et \(B\) sont incompatibles, \(P(A\cap B)=0\), alors que \(P(A)P(B)=0{,}2\neq0\). Ils ne peuvent pas être indépendants.
2. \(P(A\cup B)=0{,}4+0{,}5=0{,}9\).
3. \(P(A\cap B)=0{,}4\times0{,}5=0{,}2\), donc \(P(A\cup B)=0{,}4+0{,}5-0{,}2=0{,}7\).

14 Le chamboule-tout ★★★

Jamais : \(\left(\dfrac34\right)^4=\dfrac{81}{256}\approx0{,}316\). Au moins une fois : \(1-\dfrac{81}{256}=\dfrac{175}{256}\approx0{,}684\). Exactement une fois : la réussite peut être au premier, deuxième, troisième ou quatrième lancer, soit 4 chemins de probabilité \(\dfrac14\times\left(\dfrac34\right)^3=\dfrac{27}{256}\), donc \(4\times\dfrac{27}{256}=\dfrac{27}{64}\approx0{,}422\).

15 Trois façons d’aller au lycée ★★★

1. Les trois trajets sont exclusifs et couvrent tous les cas ; \(0{,}5+0{,}3+0{,}2=1\).
2. \(P(R)=0{,}5\times0{,}1+0{,}3\times0{,}05+0{,}2\times0{,}02=0{,}05+0{,}015+0{,}004=0{,}069\).
3. Bus : \(\dfrac{0{,}05}{0{,}069}=\dfrac{50}{69}\approx0{,}725\) ; vélo : \(\dfrac{0{,}015}{0{,}069}=\dfrac{15}{69}=\dfrac5{23}\approx0{,}217\) ; pied : \(\dfrac{0{,}004}{0{,}069}=\dfrac4{69}\approx0{,}058\). La somme vaut \(\dfrac{50+15+4}{69}=1\) : sachant le retard, ces trois probabilités forment une probabilité sur la partition.

16 Combien de flèches ? ★★★

Pour \(n\) tirs, \(P(\text{au moins un succès})=1-0{,}6^n\). On veut \(1-0{,}6^n\geqslant0{,}99\), soit \(0{,}6^n\leqslant0{,}01\). Comme \(\ln 0{,}6<0\), on obtient \(n\geqslant\dfrac{\ln0{,}01}{\ln0{,}6}\approx9{,}02\). Vérification : \(0{,}6^9\approx0{,}01008>0{,}01\) et \(0{,}6^{10}\approx0{,}00605<0{,}01\). Il faut donc 10 tirs.

17 Tirage sans remise ★★★

1. \(P(R_1)=\dfrac58\). Il reste 7 boules dont 4 rouges : \(P_{R_1}(R_2)=\dfrac47\). Donc \(P(R_1\cap R_2)=\dfrac58\times\dfrac47=\dfrac{20}{56}=\dfrac5{14}\).
2. \(P_{\overline{R_1}}(R_2)=\dfrac57\), donc \(P(R_2)=\dfrac5{14}+\dfrac38\times\dfrac57=\dfrac{20}{56}+\dfrac{15}{56}=\dfrac{35}{56}=\dfrac58\).
3. \(P(R_1)P(R_2)=\dfrac{25}{64}\approx0{,}391\) et \(P(R_1\cap R_2)=\dfrac5{14}\approx0{,}357\) : ils ne sont pas indépendants (sans remise, le premier tirage modifie l’urne). Enfin \(P_{R_2}(R_1)=\dfrac{5/14}{5/8}=\dfrac47\).

18 Fiabilité d’un système ★★★

1. Série : \(0{,}9\times0{,}8\times0{,}7=0{,}504\).
2. Parallèle : il tombe en panne seulement si les trois sont en panne, d’où \(1-0{,}1\times0{,}2\times0{,}3=1-0{,}006=0{,}994\).
3. Le couple \(\{B,C\}\) fonctionne avec la probabilité \(1-0{,}2\times0{,}3=0{,}94\). Par indépendance, le système fonctionne avec la probabilité \(0{,}9\times0{,}94=0{,}846\).

19 Une démonstration ★★★

1. \(A\) est la réunion disjointe de \(A\cap B\) et \(A\cap\overline{B}\), donc \(P(A\cap\overline{B})=P(A)-P(A\cap B)=P(A)-P(A)P(B)=P(A)\,(1-P(B))=P(A)\,P(\overline{B})\). Ainsi \(A\) et \(\overline{B}\) sont indépendants.
2. \(P(A\cap\overline{B})=0{,}35\times0{,}4=0{,}14\). Par la propriété précédente (appliquée à \(\overline{B}\) et \(A\), puis à \(\overline{B}\) et \(\overline{A}\)), \(P(\overline{A}\cap\overline{B})=0{,}65\times0{,}4=0{,}26\).

20 Un dé truqué dans l’urne ★★★

1. \(P_{D_1}(E)=\dfrac16\times\dfrac16=\dfrac1{36}\) et \(P_{D_2}(E)=\dfrac12\times\dfrac12=\dfrac14\).
2. \(D_1\) et \(D_2\) forment une partition : \(P(E)=\dfrac12\times\dfrac1{36}+\dfrac12\times\dfrac14=\dfrac1{72}+\dfrac9{72}=\dfrac{10}{72}=\dfrac5{36}\).
3. \(P_E(D_2)=\dfrac{P(D_2)P_{D_2}(E)}{P(E)}=\dfrac{1/8}{5/36}=\dfrac{36}{40}=\dfrac9{10}=0{,}9\). Deux « 6 » de suite rendent le dé truqué très probable.