Primitives et équations différentielles : corrigé du contrôle de maths Terminale à télécharger en PDF

1 Primitives / 4 pts

1. \(F(x) = x^5 - x^3 + 7x\) (1 pt).
2. \(G(x) = -\dfrac{1}{2}e^{-2x} - \dfrac{4}{x}\) (1 pt).
3. Avec \(u = 3x^2 + 1 > 0\), \(u^{\prime} = 6x\) et \(h = \dfrac{u^{\prime}}{u}\) (1 pt), donc \(H(x) = \ln(3x^2 + 1)\) (1 pt).

2 Primitive avec condition / 3 pts

Avec \(u = x^2 - 3x\), \(u^{\prime} = 2x - 3\) et \(f = u^{\prime}u^{2}\) (1 pt).

Les primitives sont \(F(x) = \dfrac{(x^2 - 3x)^3}{3} + c\) (1 pt).

\(F(1) = \dfrac{(-2)^3}{3} + c = -\dfrac{8}{3} + c = 1\), donc \(c = \dfrac{11}{3}\) et \(F(x) = \dfrac{(x^2 - 3x)^3 + 11}{3}\) (1 pt).

3 Équation différentielle / 3 pts

\(-\dfrac{b}{a} = 2\), donc les solutions sont \(y(x) = Ce^{-3x} + 2\) (2 pts).

\(y(0) = C + 2 = 5\) donne \(C = 3\) : \(y(x) = 3e^{-3x} + 2\) (1 pt).

4 Une boisson qui se réchauffe / 4 pts

1. \(0{,}15(24 - T) = 3{,}6 - 0{,}15\,T\) (1 pt).
2. \(-\dfrac{b}{a} = \dfrac{3{,}6}{0{,}15} = 24\), donc \(T(t) = Ce^{-0{,}15t} + 24\) (1 pt). \(T(0) = 4\) donne \(C = -20\) : \(T(t) = 24 - 20e^{-0{,}15t}\) (1 pt).
3. \(T(10) = 24 - 20e^{-1{,}5} \approx 24 - 4{,}46 \approx 19{,}5\) °C (1 pt).

5 Radioactivité / 4 pts

1. \(N(t) = 240e^{-0{,}05t}\) (1 pt).
2. \(e^{-0{,}05t} = \dfrac{1}{2} \iff t = \dfrac{\ln 2}{0{,}05} \approx 13{,}9\) jours (2 pts).
3. \(N(20) = 240e^{-1} \approx 88{,}3\) g (1 pt).

6 Vrai ou faux ? / 2 pts

Posons \(F(x) = x\ln x - x\), dérivable sur \(]0\,;+\infty[\). Alors \(F^{\prime}(x) = 1\times\ln x + x\times\dfrac{1}{x} - 1 = \ln x\) (1 pt).

Vrai : \(F\) est bien une primitive de \(\ln\) (1 pt).