Primitives et équations différentielles : contrôle de maths Terminale à télécharger en PDF

1 Primitives / 4 pts

Détermine une primitive de chaque fonction sur l’intervalle indiqué.

1. \(f(x) = 5x^4 - 3x^2 + 7\) sur \(\mathbb{R}\) ;
2. \(g(x) = e^{-2x} + \dfrac{4}{x^2}\) sur \(]0\,;+\infty[\) ;
3. \(h(x) = \dfrac{6x}{3x^2 + 1}\) sur \(\mathbb{R}\).

2 Primitive avec condition / 3 pts

Soit \(f(x) = (2x - 3)(x^2 - 3x)^2\) sur \(\mathbb{R}\). Détermine la primitive \(F\) de \(f\) telle que \(F(1) = 1\).

3 Équation différentielle / 3 pts

Résous \(y^{\prime} = -3y + 6\), puis donne la solution telle que \(y(0) = 5\).

4 Une boisson qui se réchauffe / 4 pts

Une boisson à \(4\) °C est sortie du réfrigérateur dans une pièce à \(24\) °C. Sa température \(T(t)\), en °C, après \(t\) minutes vérifie \(T^{\prime} = 0{,}15\,(24 - T)\). (Calculatrice autorisée.)

1. Montre que \(T^{\prime} = -0{,}15\,T + 3{,}6\).
2. Résous cette équation avec \(T(0) = 4\).
3. Calcule la température après \(10\) minutes, arrondie au dixième.

5 Radioactivité / 4 pts

La masse \(N(t)\) en grammes d’une substance vérifie \(N^{\prime} = -0{,}05\,N\) (\(t\) en jours) avec \(N(0) = 240\). (Calculatrice autorisée.)

1. Donne \(N(t)\).
2. Calcule la demi-vie, arrondie au dixième de jour.
3. Calcule la masse restante après \(20\) jours, arrondie au dixième.

6 Vrai ou faux ? / 2 pts

La fonction \(x \mapsto x\ln x - x\) est-elle une primitive de \(\ln\) sur \(]0\,;+\infty[\) ? Justifie.