Limites de fonctions : exercices de maths Terminale à télécharger en PDF

1 Limites de référence ★★★

Donne sans justification : a) \(\displaystyle\lim_{x\to+\infty}x^3\) ; b) \(\displaystyle\lim_{x\to+\infty}\dfrac{1}{x^2}\) ; c) \(\displaystyle\lim_{x\to+\infty}\sqrt{x}\) ; d) \(\displaystyle\lim_{x\to+\infty}e^{-x}\).

2 Vrai ou faux ★★★

Dis si chaque affirmation est vraie ou fausse, en justifiant : a) \(\displaystyle\lim_{x\to-\infty}x^2=-\infty\) ; b) \(\displaystyle\lim_{x\to-\infty}\dfrac{1}{x}=0\) ; c) \(\displaystyle\lim_{x\to0^+}\dfrac{1}{x}=+\infty\) ; d) \(\displaystyle\lim_{x\to+\infty}e^{x}=0\).

3 Polynômes en l’infini ★★★

Calcule : a) \(\displaystyle\lim_{x\to+\infty}(4x^3-5x^2+2)\) ; b) \(\displaystyle\lim_{x\to+\infty}(-2x^2+7x)\).

4 Quotients en +∞ ★★★

Calcule : a) \(\displaystyle\lim_{x\to+\infty}\dfrac{7}{x^2+1}\) ; b) \(\displaystyle\lim_{x\to+\infty}\dfrac{6x^2-1}{3x^2+2}\).

5 Lecture graphique ★★★

On donne la courbe d’une fonction \(f\).

Lis graphiquement : a) \(\displaystyle\lim_{x\to2^-}f(x)\) et \(\displaystyle\lim_{x\to2^+}f(x)\) ; b) \(\displaystyle\lim_{x\to+\infty}f(x)\) et \(\displaystyle\lim_{x\to-\infty}f(x)\) ; c) les équations des asymptotes.

6 Limites en un point ★★★

Calcule : a) \(\displaystyle\lim_{x\to2^+}\dfrac{1}{x-2}\) ; b) \(\displaystyle\lim_{x\to2^-}\dfrac{1}{x-2}\) ; c) \(\displaystyle\lim_{x\to1}(2x^2-3x+5)\).

7 Deux asymptotes ★★★

Soit \(f(x)=\dfrac{4x-3}{x+2}\) sur \(]-2\,;+\infty[\). Détermine les limites de \(f\) en \(+\infty\) et en \(-2^+\), puis donne les asymptotes de la courbe.

8 Un polynôme de degré 3 ★★★

Soit \(f(x)=x^3-6x^2\). Calcule \(\displaystyle\lim_{x\to+\infty}f(x)\) et \(\displaystyle\lim_{x\to-\infty}f(x)\). Pourquoi ne peut-on pas conclure directement ?

9 Degrés différents ★★★

Calcule : a) \(\displaystyle\lim_{x\to+\infty}\dfrac{2x^2+3}{x^3-1}\) ; b) \(\displaystyle\lim_{x\to+\infty}\dfrac{5x^3-x}{x^2+4}\).

10 Une forme 0/0 ★★★

Calcule \(\displaystyle\lim_{x\to2}\dfrac{x^2-4}{x^2-x-2}\).

11 Quantité conjuguée ★★★

Calcule \(\displaystyle\lim_{x\to+\infty}\left(\sqrt{x^2+3x}-x\right)\).

12 Croissances comparées ★★★

Calcule : a) \(\displaystyle\lim_{x\to+\infty}\dfrac{e^x}{x^2}\) ; b) \(\displaystyle\lim_{x\to+\infty}\dfrac{\ln x}{x^3}\) ; c) \(\displaystyle\lim_{x\to-\infty}x\,e^{x}\) ; d) \(\displaystyle\lim_{x\to0^+}x\ln x\).

13 Comparaison ★★★

a) Montre que \(\displaystyle\lim_{x\to+\infty}(x+\cos x)=+\infty\). b) Montre que \(\displaystyle\lim_{x\to+\infty}\dfrac{\sin x}{x^2}=0\).

14 Composées ★★★

Calcule : a) \(\displaystyle\lim_{x\to+\infty}e^{-x^2+3x}\) ; b) \(\displaystyle\lim_{x\to+\infty}\ln\left(1+\dfrac{1}{x}\right)\) ; c) \(\displaystyle\lim_{x\to+\infty}\sqrt{4+\dfrac{1}{x}}\).

15 Une tasse de thé ★★★

La température (en °C) d’une tasse de thé posée dans une pièce est modélisée, \(t\) minutes après le service, par \(T(t)=20+65\,e^{-0{,}1t}\) pour \(t\geqslant0\).

1. Calcule \(T(0)\) et \(\displaystyle\lim_{t\to+\infty}T(t)\). Interprète.
2. Que peux-tu dire de la courbe de \(T\) ?
3. À partir de quelle minute entière la température est-elle inférieure à \(21\) °C ? (calculatrice autorisée)

16 Un étang de poissons ★★★

Dans un étang, le nombre de poissons est modélisé, au bout de \(t\) années, par \(P(t)=\dfrac{800}{1+3e^{-0{,}5t}}\) pour \(t\geqslant0\).

1. Calcule \(P(0)\) et \(\displaystyle\lim_{t\to+\infty}P(t)\).
2. Montre que \(P(t)<800\) pour tout \(t\geqslant0\).
3. À partir de quelle année entière l’étang compte-t-il au moins \(790\) poissons ? (calculatrice autorisée)

17 Étude complète d’une fraction ★★★

Soit \(f(x)=\dfrac{2x^2+x}{x^2-4}\) définie sur \(\mathbb{R}\setminus\{-2\,;2\}\).

1. Calcule les limites de \(f\) en \(+\infty\) et en \(-\infty\).
2. Calcule les limites de \(f\) à gauche et à droite de \(2\), puis de \(-2\).
3. Que peux-tu dire des asymptotes de la courbe ?

18 Gendarmes et fraction ★★★

On pose \(f(x)=\dfrac{3x^2+\sin(5x)}{x^2+1}\). En encadrant \(\sin(5x)\), détermine \(\displaystyle\lim_{x\to+\infty}f(x)\).

19 Racine et limite en −∞ ★★★

Calcule \(\displaystyle\lim_{x\to-\infty}\left(\sqrt{x^2+x+1}+x\right)\). Attention au signe de \(x\).

20 Changement de variable ★★★

Calcule : a) \(\displaystyle\lim_{x\to+\infty}x\,e^{-\sqrt{x}}\) (pose \(X=\sqrt{x}\)) ; b) \(\displaystyle\lim_{x\to0^+}e^{-1/x}\) ; c) \(\displaystyle\lim_{x\to0^+}x\,e^{1/x}\).