Calcul intégral : contrôle de maths Terminale à télécharger en PDF

1 Calculs d’intégrales / 4 pts

Calcule les intégrales suivantes.

1. \(A = \displaystyle\int_0^2 (x^3 - 2x + 1)\,\mathrm{d}x\)
2. \(B = \displaystyle\int_0^1 \mathrm{e}^{3x}\,\mathrm{d}x\)
3. \(C = \displaystyle\int_1^2 \left(\dfrac{2}{x} + \dfrac{1}{x^2}\right)\mathrm{d}x\)

2 Chasles et linéarité / 3 pts

Soit \(f\) continue sur \([0\,;\,7]\) avec \(\int_0^3 f(x)\,\mathrm{d}x = 4\) et \(\int_3^7 f(x)\,\mathrm{d}x = -1\).

1. Calcule \(\int_0^7 f(x)\,\mathrm{d}x\).
2. Calcule \(\int_7^3 f(x)\,\mathrm{d}x\).
3. Calcule \(\int_0^3 \big(2f(x) + 1\big)\,\mathrm{d}x\).

3 Encadrement / 3 pts

Pour \(x \in [0\,;\,1]\), on considère \(h(x) = \dfrac{1}{1 + x}\).

1. Montre que \(\dfrac{1}{2} \leqslant h(x) \leqslant 1\).
2. Déduis-en un encadrement de \(\int_0^1 h(x)\,\mathrm{d}x\).
3. Calcule cette intégrale et vérifie qu’elle respecte l’encadrement.

4 Valeur moyenne / 3 pts

Soit \(f(x) = x^2 - 2x + 3\). Calcule la valeur moyenne de \(f\) sur \([1\,;\,4]\).

5 Intégration par parties / 4 pts

Calcule \(P = \displaystyle\int_0^{\pi/2} x\cos x\,\mathrm{d}x\) à l’aide d’une intégration par parties.

6 Aire entre une parabole et une droite / 3 pts

On considère \(f(x) = -x^2 + 4\) et \(g(x) = x + 2\). L’unité graphique est \(1\) cm sur chaque axe.

1. Résous \(f(x) = g(x)\).
2. Sachant que \(f \geqslant g\) sur l’intervalle compris entre ces solutions, calcule l’aire du domaine entre les deux courbes.