Séries numériques : corrigé du contrôle de maths Maths Spé à télécharger en PDF

1 Sommes exactes / 3 pts

a) \( |q|=\frac23\lt1 \) : somme \( =\dfrac5{1+2/3}=3 \) (1,5 pt).

b) \( \dfrac13\left(\dfrac1n-\dfrac1{n+3}\right)=\dfrac13\cdot\dfrac3{n(n+3)} \) (0,5 pt). \( S_N=\dfrac13\left(1+\dfrac12+\dfrac13-\dfrac1{N+1}-\dfrac1{N+2}-\dfrac1{N+3}\right) \) (0,5 pt). Limite : \( \dfrac13\cdot\dfrac{11}6=\dfrac{11}{18} \) (0,5 pt).

2 Nature de quatre séries / 4 pts

a) Le terme tend vers \( \frac12\neq0 \) : divergence grossière (1 pt).

b) Équivalent à \( \dfrac1{n^2} \) : converge (1 pt).

c) \( \dfrac{\ln n}{n^{3/2}}=\dfrac{\ln n}{n^{1/4}}\cdot\dfrac1{n^{5/4}} \) avec \( \dfrac{\ln n}{n^{1/4}}\to0 \) : \( =o\left(\dfrac1{n^{5/4}}\right) \), Riemann \( \alpha=\frac54\gt1 \) : converge (1 pt).

d) \( n^3e^{-n}\to0 \) donc \( n\,e^{-n}=o\left(\dfrac1{n^2}\right) \) : converge (1 pt).

3 Série alternée et approximation / 4 pts

1. \( \left|\frac{(-1)^{n+1}}{n^2}\right|=\frac1{n^2} \), Riemann \( \alpha=2\gt1 \) (1 pt).
2. \( S_4=1-\dfrac14+\dfrac19-\dfrac1{16}=\dfrac{144-36+16-9}{144}=\dfrac{115}{144} \) (1 pt).
3. \( R_4 \) a le signe de \( u_5\gt0 \) et \( |R_4|\leq\dfrac1{25}=0{,}04 \), donc \( \dfrac{115}{144}\leq S\leq\dfrac{115}{144}+0{,}04 \), soit \( 0{,}7986\leq S\leq0{,}8387 \) environ (1 pt).
4. \( \dfrac1{(N+1)^2}\leq0{,}01 \) équivaut à \( N+1\geq10 \), donc \( N=9 \) (1 pt).

4 Série-intégrale / 4 pts

1. \( f(t)=\dfrac1{t^3} \) est positive, continue, décroissante (1 pt). Donc \( \displaystyle\int_{n+1}^{+\infty}f\leq R_n\leq\int_n^{+\infty}f \) (0,5 pt), avec \( \displaystyle\int_a^{+\infty}\dfrac{dt}{t^3}=\dfrac1{2a^2} \) (0,5 pt).
2. Pour \( n=9 \) : \( \dfrac1{200}=0{,}005\leq R_9\leq\dfrac1{162}\approx0{,}006173 \) (1 pt). Donc \( 1{,}201532\leq S\leq1{,}202705 \) (0,5 pt), amplitude inférieure à \( 0{,}0012 \) (0,5 pt).

5 Produit de Cauchy / 3 pts

La série \( \sum\left(-\frac12\right)^n \) est absolument convergente (géométrique de raison \( \frac12 \)) : le théorème s’applique (1 pt).

Terme général : \( w_n=\sum_{k=0}^n\left(-\frac12\right)^k\left(-\frac12\right)^{n-k}=(n+1)\left(-\frac12\right)^n \) (1 pt).

Somme : \( \left(\dfrac1{1+1/2}\right)^2=\dfrac49 \) (1 pt).

6 Reste équivalent / 2 pts

a) Télescopage sur \( \frac13\left(\frac1k-\frac1{k+3}\right) \) : \( \dfrac13\left(\dfrac1{N+1}+\dfrac1{N+2}+\dfrac1{N+3}\right) \) (1 pt).

b) Ce reste est équivalent à \( \dfrac1N \) (0,5 pt). Comme \( \dfrac1{k(k+3)}\sim\dfrac1{k^2} \) (positifs, séries convergentes), les restes sont équivalents : \( \sum_{k\gt N}\dfrac1{k^2}\sim\dfrac1N \) (0,5 pt).