Séries numériques : contrôle de maths Maths Spé à télécharger en PDF

1 Sommes exactes / 3 pts

a) Calculer \( \sum_{n\geq0}5\left(-\dfrac23\right)^n \).

b) Pour \( n\geq1 \), décomposer \( \dfrac1{n(n+3)} \) sous la forme \( \dfrac13\left(\dfrac1n-\dfrac1{n+3}\right) \), calculer la somme partielle \( S_N \), puis la somme de la série \( \sum_{n\geq1}\dfrac1{n(n+3)} \).

2 Nature de quatre séries / 4 pts

Déterminer la nature de chaque série (1 point chacune) : a) \( \sum\dfrac{n^2+1}{2n^2+3} \) ; b) \( \sum\dfrac{n+4}{n^3+n} \) ; c) \( \sum\dfrac{\ln n}{n^{3/2}} \) ; d) \( \sum n\,e^{-n} \).

3 Série alternée et approximation / 4 pts

On étudie \( S=\sum_{n\geq1}\dfrac{(-1)^{n+1}}{n^2} \).

1. Montrer que la série converge absolument.
2. Calculer \( S_4 \) sous forme de fraction.
3. En déduire un encadrement de \( S \) à l’aide du critère des séries alternées.
4. Quel entier \( N \) minimal garantit \( |R_N|\leq0{,}01 \) ?

4 Série-intégrale / 4 pts

On pose \( S=\sum_{n\geq1}\dfrac1{n^3} \) et \( R_n=\sum_{k\gt n}\dfrac1{k^3} \). Calculatrice autorisée.

1. Montrer que \( \dfrac1{2(n+1)^2}\leq R_n\leq\dfrac1{2n^2} \).
2. On donne \( S_9\approx1{,}196532 \). Encadrer \( S \) et préciser l’amplitude de l’encadrement.

5 Produit de Cauchy / 3 pts

Calculer \( \sum_{n\geq0}(n+1)\left(-\dfrac12\right)^n \) en utilisant le produit de Cauchy de \( \sum\left(-\dfrac12\right)^n \) par elle-même. On justifiera l’emploi du théorème.

6 Reste équivalent / 2 pts

a) Calculer \( \sum_{k\gt N}\dfrac1{k(k+3)} \) en fonction de \( N \). b) En déduire un équivalent de \( \sum_{k\gt N}\dfrac1{k^2} \).