Séries numériques : exercices de maths Maths Spé à télécharger en PDF

1 Un télescopage simple ★★★

On considère la série \( \sum_{n\geq1}\dfrac{1}{n(n+2)} \).

1. Vérifier que \( \dfrac{1}{n(n+2)}=\dfrac12\left(\dfrac1n-\dfrac1{n+2}\right) \).
2. Calculer la somme partielle \( S_N \).
3. Conclure sur la nature et la somme de la série.

2 Sommes géométriques ★★★

Calculer, lorsque c’est possible : a) \( \sum_{n\geq0}3\left(\dfrac25\right)^n \) ; b) \( \sum_{n\geq2}\left(-\dfrac13\right)^n \) ; c) \( \sum_{n\geq0}\left(\dfrac76\right)^n \).

3 Divergence grossière ou non ? ★★★

Pour chaque série, peut-on conclure avec le seul terme général ? a) \( \sum\dfrac{n}{2n+1} \) ; b) \( \sum\left(1+\dfrac1n\right)^n \) ; c) \( \sum\dfrac1{n^2} \).

4 Séries de Riemann ★★★

Donner la nature de : a) \( \sum\dfrac{1}{n\sqrt n} \) ; b) \( \sum\dfrac{1}{\sqrt[3]{n}} \) ; c) \( \sum\dfrac{1}{n^{1{,}01}} \) ; d) \( \sum\dfrac{1}{n^{0{,}99}} \).

5 Sommes exponentielles ★★★

Exprimer à l’aide de \( e \) : a) \( \sum_{n\geq0}\dfrac{2^n}{n!} \) ; b) \( \sum_{n\geq1}\dfrac{3^n}{n!} \) ; c) \( \sum_{n\geq0}\dfrac{(-1)^n}{n!} \) ; d) \( \sum_{n\geq2}\dfrac1{n!} \).

6 Vrai ou faux ? ★★★

Dire si chaque affirmation est vraie ou fausse, avec une justification.

1. Si \( u_n\to0 \), alors \( \sum u_n \) converge.
2. Si \( \sum|u_n| \) converge, alors \( \sum u_n \) converge.
3. Si \( u_n\geq0 \) et \( \sum u_n \) converge, alors \( (u_n) \) est bornée.
4. Si \( \sum u_n \) et \( \sum v_n \) divergent, alors \( \sum(u_n+v_n) \) diverge.

7 Utiliser un équivalent ★★★

Nature de : a) \( \sum\dfrac{n+1}{n^3+2} \) ; b) \( \sum\dfrac{3n+1}{n^2+n} \) ; c) \( \sum\sin\dfrac1{n^2} \) ; d) \( \sum\left(1-\cos\dfrac1n\right) \).

8 Télescopage avec des logarithmes ★★★

a) Montrer que \( \sum_{n\geq1}\ln\left(1+\dfrac1n\right) \) diverge. b) Pour \( n\geq2 \), calculer \( S_N=\sum_{n=2}^{N}\ln\left(1-\dfrac1{n^2}\right) \) et en déduire la somme de la série.

9 Absolue ou semi-convergence ★★★

Étudier la convergence et la convergence absolue de : a) \( \sum_{n\geq1}\dfrac{(-1)^n}{n^2} \) ; b) \( \sum_{n\geq1}\dfrac{(-1)^nn}{n^2+1} \).

10 Précision d’une somme alternée ★★★

On admet que \( \sum_{n\geq0}\dfrac{(-1)^n}{2n+1} \) converge. Quel est le plus petit entier \( N \) pour lequel le critère des séries alternées garantit que \( S_N \) approche la somme à moins de \( 0{,}005 \) près ?

11 Comparaisons ★★★

Étudier la nature de : a) \( \sum\dfrac{2+\sin n}{n^2} \) ; b) \( \sum\dfrac{\ln n}{n^2} \) ; c) \( \sum_{n\geq3}\dfrac{\ln n}{n} \).

12 Encadrer un reste ★★★

On pose \( S_n=\sum_{k=1}^n\dfrac1{k^2} \) et \( R_n=\sum_{k\gt n}\dfrac1{k^2} \).

1. Montrer que \( \dfrac1{n+1}\leq R_n\leq\dfrac1n \).
2. Sachant que \( S_{10}\approx1{,}54977 \), encadrer la somme de la série.

Voir la figure du cours : les rectangles se placent de la même façon sous la courbe.

13 Produit de Cauchy et exponentielles ★★★

a) Montrer que le produit de Cauchy de \( \sum\dfrac{1}{n!} \) et \( \sum\dfrac{3^n}{n!} \) a pour terme général \( w_n=\dfrac{4^n}{n!} \). b) En déduire \( \sum_{n\geq0}\dfrac{4^n}{n!} \).

14 Une somme avec un coefficient ★★★

Calculer \( \sum_{n\geq0}\dfrac{n+1}{3^n} \) en utilisant un produit de Cauchy.

15 Temps d’attente à un jeu ★★★

À une fête foraine, on gagne un lot avec une probabilité \( p=\frac15 \) à chaque tirage, indépendamment. Soit \( N \) le rang du premier succès. On a \( P(N=n)=p\,q^{n-1} \), avec \( q=\frac45 \). Calculer l’espérance \( E(N)=\sum_{n\geq1}n\,p\,q^{n-1} \).

16 Une série alternée piège ★★★

Soit \( u_n=\dfrac{(-1)^n}{\sqrt n+(-1)^n} \) pour \( n\geq2 \). Posons \( \varepsilon_n=\dfrac{(-1)^n}{\sqrt n} \).

1. Montrer que \( u_n=\varepsilon_n-\dfrac1n+\dfrac{\varepsilon_n^3}{1+\varepsilon_n} \).
2. Montrer que \( \sum\dfrac{\varepsilon_n^3}{1+\varepsilon_n} \) converge absolument.
3. Conclure sur \( \sum u_n \). Pourquoi ne peut-on pas utiliser \( u_n\sim\varepsilon_n \) ?

17 Séries de Bertrand ★★★

a) Montrer que \( \sum_{n\geq2}\dfrac1{n\ln n} \) diverge en comparant avec \( \int_2^{N+1}\dfrac{dt}{t\ln t} \). b) Montrer que \( \sum_{n\geq2}\dfrac1{n\ln^2n} \) converge.

18 Sommer des équivalents ★★★

a) Montrer que \( \sum_{k=1}^N\dfrac1{k+\sqrt k}\sim\ln N \). b) Calculer exactement \( \sum_{k\gt N}\dfrac1{k(k+1)} \) et en déduire un équivalent de \( \sum_{k\gt N}\dfrac1{k^2} \).

19 Un produit de Cauchy divergent ★★★

Soit \( u_n=\dfrac{(-1)^n}{\sqrt{n+1}} \). La série \( \sum u_n \) converge (critère des séries alternées). On forme son produit de Cauchy avec elle-même.

1. Montrer que \( |w_n|=\sum_{k=0}^n\dfrac1{\sqrt{(k+1)(n-k+1)}} \).
2. Montrer que \( |w_n|\geq\dfrac{2(n+1)}{n+2} \).
3. Conclure. Quelle hypothèse du théorème est en défaut ?

20 La constante d’Euler ★★★

On pose \( u_n=\dfrac1n-\ln\left(1+\dfrac1n\right) \) pour \( n\geq1 \).

1. Montrer que \( 0\leq u_n\leq\dfrac1{2n^2} \) en utilisant \( x-\frac{x^2}2\leq\ln(1+x)\leq x \) sur \( [0,1] \).
2. Calculer \( \sum_{n=1}^Nu_n \) en fonction de \( H_N \) et conclure que \( H_N-\ln N \) converge vers une constante \( \gamma \).
3. Encadrer \( \gamma \) grossièrement avec \( u_1=1-\ln2\approx0{,}3069 \).

La figure ci-dessous montre les premières valeurs de \( H_n-\ln n \).

21 Une série avec paramètre ★★★

Pour \( \alpha \) réel, étudier la nature de \( \sum_{n\geq1}\left(\sqrt{n+1}-\sqrt n\right)^{\alpha} \).

22 Séries de Riemann alternées ★★★

Pour \( \alpha\in\mathbb R \), étudier la convergence et la convergence absolue de \( \sum_{n\geq1}\dfrac{(-1)^n}{n^{\alpha}} \).