Espaces euclidiens : contrôle de maths Maths Spé à télécharger en PDF

1 Un produit scalaire par évaluation / 4 pts

Sur \(\mathbb{R}_2[X]\), on pose \(\langle P,Q\rangle=P(0)Q(0)+P(1)Q(1)+P(2)Q(2)\).

1. Montrer que c’est un produit scalaire.
2. Calculer \(\langle1,X\rangle\), \(\|1\|^2\), \(\|X\|^2\).
3. Orthonormaliser la famille \((1,X)\) par Gram-Schmidt.

2 Gram-Schmidt dans \(\mathbb{R}^3\) / 4 pts

Orthonormaliser \(v_1=(1,-1,1)\), \(v_2=(2,0,1)\), \(v_3=(1,1,3)\) dans \(\mathbb{R}^3\) canonique.

3 Projection sur un plan / 4 pts

Dans \(\mathbb{R}^3\) canonique, soit \(P\) le plan d’équation \(x+2y-2z=0\) et \(M=(5,2,-1)\).

1. Calculer la distance de \(M\) à \(P\).
2. Déterminer le projeté orthogonal \(H\) de \(M\) sur \(P\).
3. Déterminer le symétrique \(M'\) de \(M\) par rapport à \(P\).

4 Une isométrie de l’espace / 4 pts

Soit \(A=\dfrac17\begin{pmatrix}2&3&6\\6&2&-3\\3&-6&2\end{pmatrix}\).

1. Montrer que \(A\) est orthogonale.
2. Calculer \(\det A\).
3. Montrer que \(-A\) est une rotation et donner le cosinus de son angle.

5 Diagonalisation et forme quadratique / 4 pts

Soit \(A=\begin{pmatrix}5&2\\2&2\end{pmatrix}\) et \(q(x,y)=5x^2+4xy+2y^2\).

1. Calculer les valeurs propres de \(A\).
2. Donner une base orthonormée de vecteurs propres et écrire \(A=PDP^{T}\).
3. Déterminer le maximum et le minimum de \(q\) sur le cercle unité.