Trigonométrie : exercices corrigés de maths 1ère à télécharger en PDF

1 Des degrés aux radians ★★★

On utilise \(\alpha^\circ = \dfrac{\alpha\pi}{180}\) rad.

a) \(45^\circ = \dfrac{45\pi}{180} = \dfrac{\pi}{4}\).

b) \(120^\circ = \dfrac{120\pi}{180} = \dfrac{2\pi}{3}\).

c) \(210^\circ = \dfrac{210\pi}{180} = \dfrac{7\pi}{6}\).

d) \(270^\circ = \dfrac{270\pi}{180} = \dfrac{3\pi}{2}\).

2 Des radians aux degrés ★★★

On utilise \(\pi\) rad \(= 180^\circ\), donc \(\theta\) rad \(= \dfrac{180\,\theta}{\pi}\) degrés.

a) \(\dfrac{180}{5} = 36^\circ\).

b) \(\dfrac{5 \times 180}{6} = 150^\circ\).

c) \(\dfrac{7 \times 180}{4} = 315^\circ\).

d) \(\dfrac{3 \times 180}{10} = 54^\circ\).

3 Mesures principales ★★★

On ajoute ou on retire des multiples de \(2\pi\).

a) \(\dfrac{7\pi}{3} - 2\pi = \dfrac{\pi}{3}\).

b) \(-\dfrac{5\pi}{2} + 2\pi = -\dfrac{\pi}{2}\).

c) \(\dfrac{13\pi}{4} - 4\pi = \dfrac{13\pi - 16\pi}{4} = -\dfrac{3\pi}{4}\).

d) \(\dfrac{11\pi}{6} - 2\pi = -\dfrac{\pi}{6}\).

4 Valeurs à connaître ★★★

Valeurs remarquables du cours :

a) \(\cos\dfrac{\pi}{6} = \dfrac{\sqrt{3}}{2}\) ; b) \(\sin\dfrac{\pi}{3} = \dfrac{\sqrt{3}}{2}\) ; c) \(\cos\dfrac{\pi}{2} = 0\) ; d) \(\sin\pi = 0\) (le point est en \((-1\,;\,0)\)) ; e) \(\cos\dfrac{\pi}{4} = \dfrac{\sqrt{2}}{2}\).

5 Vrai ou faux ? ★★★

a) Vrai : \(\cos\dfrac{\pi}{3} = \dfrac{1}{2}\) et \(\sin\dfrac{\pi}{6} = \dfrac{1}{2}\).

b) Faux : un cosinus est une abscisse sur le cercle de rayon \(1\), donc toujours compris entre \(-1\) et \(1\).

c) Faux : \(\dfrac{2\pi}{3} = \pi - \dfrac{\pi}{3}\), donc \(\cos\dfrac{2\pi}{3} = -\cos\dfrac{\pi}{3} = -\dfrac{1}{2}\).

d) Faux : \(\sin\left(-\dfrac{\pi}{4}\right) = -\sin\dfrac{\pi}{4} = -\dfrac{\sqrt{2}}{2}\).

6 L’aiguille de l’horloge ★★★

Un tiers de tour mesure \(\dfrac{2\pi}{3}\) rad.

La pointe décrit un arc de longueur \(\ell = r\theta = 12 \times \dfrac{2\pi}{3} = 8\pi\) cm.

Avec la calculatrice : \(8\pi \approx 25{,}13\). La pointe parcourt environ \(25{,}13\) cm.

7 Cosinus donné ★★★

\(\sin^2 x = 1 - \cos^2 x = 1 - \dfrac{25}{169} = \dfrac{144}{169}\).

Comme \(x \in [0\,;\,\pi]\), le point \(M\) est au-dessus (ou sur) l’axe des abscisses, donc \(\sin x \geqslant 0\) et \(\sin x = \dfrac{12}{13}\).

8 Angles associés en série ★★★

a) \(\dfrac{2\pi}{3} = \pi - \dfrac{\pi}{3}\) : \(\cos\dfrac{2\pi}{3} = -\cos\dfrac{\pi}{3} = -\dfrac{1}{2}\).

b) \(\dfrac{5\pi}{4} = \pi + \dfrac{\pi}{4}\) : \(\sin\dfrac{5\pi}{4} = -\sin\dfrac{\pi}{4} = -\dfrac{\sqrt{2}}{2}\).

c) \(\cos\left(-\dfrac{5\pi}{6}\right) = \cos\dfrac{5\pi}{6} = \cos\left(\pi - \dfrac{\pi}{6}\right) = -\dfrac{\sqrt{3}}{2}\).

d) \(\dfrac{11\pi}{6} = 2\pi - \dfrac{\pi}{6}\) : \(\sin\dfrac{11\pi}{6} = \sin\left(-\dfrac{\pi}{6}\right) = -\dfrac{1}{2}\).

e) \(\dfrac{7\pi}{4} = 2\pi - \dfrac{\pi}{4}\) : \(\cos\dfrac{7\pi}{4} = \cos\dfrac{\pi}{4} = \dfrac{\sqrt{2}}{2}\).

9 Simplifier des expressions ★★★

\(A = -\cos x + \cos x = 0\).

\(B = -\sin x + (-\sin x) = -2\sin x\).

\(C = -\cos x - \cos x = -2\cos x\).

10 Équation avec un cosinus ★★★

On sait que \(\cos\dfrac{5\pi}{6} = -\dfrac{\sqrt{3}}{2}\). L’équation s’écrit \(\cos x = \cos\dfrac{5\pi}{6}\), donc \(x = \dfrac{5\pi}{6} + 2k\pi\) ou \(x = -\dfrac{5\pi}{6} + 2k\pi\).

Dans \(]-\pi\,;\,\pi]\), seul \(k = 0\) convient : \(S = \left\{-\dfrac{5\pi}{6}\,;\,\dfrac{5\pi}{6}\right\}\).

11 Équation avec un sinus ★★★

\(\sin\dfrac{\pi}{3} = \dfrac{\sqrt{3}}{2}\), donc \(x = \dfrac{\pi}{3} + 2k\pi\) ou \(x = \pi - \dfrac{\pi}{3} + 2k\pi = \dfrac{2\pi}{3} + 2k\pi\).

Dans \([0\,;\,2\pi]\), on garde \(k = 0\) : \(S = \left\{\dfrac{\pi}{3}\,;\,\dfrac{2\pi}{3}\right\}\).

12 Un angle dans le deuxième quadrant ★★★

\(\cos^2 x = 1 - \dfrac{9}{25} = \dfrac{16}{25}\). Sur \(\left[\dfrac{\pi}{2}\,;\,\pi\right]\), le point est à gauche de l’axe des ordonnées : \(\cos x \leqslant 0\), donc \(\cos x = -\dfrac{4}{5}\).

\(\cos(\pi - x) = -\cos x = \dfrac{4}{5}\).

\(\sin\left(\dfrac{\pi}{2} - x\right) = \cos x = -\dfrac{4}{5}\).

\(\sin(\pi + x) = -\sin x = -\dfrac{3}{5}\).

13 Parité de fonctions ★★★

\(f(-x) = \cos(-x) + (-x)^2 = \cos x + x^2 = f(x)\) : \(f\) est paire.

\(g(-x) = (-x)\cos(-x) = -x\cos x = -g(x)\) : \(g\) est impaire.

\(h(-x) = \sin(-x) + 1 = 1 - \sin x\). Pour \(x = \dfrac{\pi}{2}\) : \(h(x) = 2\) et \(h(-x) = 0\), qui ne sont ni égaux ni opposés. \(h\) n’est ni paire ni impaire.

14 La grande roue ★★★

a) \(h(0) = 22 - 20 = 2\) m ; \(h\left(\dfrac{\pi}{3}\right) = 22 - 20 \times \dfrac{1}{2} = 12\) m ; \(h\left(\dfrac{\pi}{2}\right) = 22\) m ; \(h(\pi) = 22 + 20 = 42\) m.

b) \(22 - 20\cos\theta = 22 + 10\sqrt{3} \iff \cos\theta = -\dfrac{\sqrt{3}}{2}\). Dans \([0\,;\,\pi]\), \(\theta = \dfrac{5\pi}{6}\). La nacelle est alors à environ \(39{,}3\) m du sol.

15 Équation du second degré en sinus ★★★

On pose \(S = \sin x\) : \(2S^2 - S - 1 = 0\). On factorise : \((2S + 1)(S - 1) = 0\), d’où \(S = -\dfrac{1}{2}\) ou \(S = 1\).

\(\sin x = 1\) donne \(x = \dfrac{\pi}{2}\) dans \(]-\pi\,;\,\pi]\).

\(\sin x = -\dfrac{1}{2} = \sin\left(-\dfrac{\pi}{6}\right)\) donne \(x = -\dfrac{\pi}{6}\) ou \(x = \pi + \dfrac{\pi}{6} - 2\pi = -\dfrac{5\pi}{6}\).

\(S = \left\{-\dfrac{5\pi}{6}\,;\,-\dfrac{\pi}{6}\,;\,\dfrac{\pi}{2}\right\}\).

16 Équation avec un double angle ★★★

\(\cos(2x) = \cos\dfrac{\pi}{3}\) donne \(2x = \dfrac{\pi}{3} + 2k\pi\) ou \(2x = -\dfrac{\pi}{3} + 2k\pi\), soit \(x = \dfrac{\pi}{6} + k\pi\) ou \(x = -\dfrac{\pi}{6} + k\pi\).

Dans \([0\,;\,\pi]\) : \(x = \dfrac{\pi}{6}\) (avec \(k = 0\)) et \(x = -\dfrac{\pi}{6} + \pi = \dfrac{5\pi}{6}\) (avec \(k = 1\)).

\(S = \left\{\dfrac{\pi}{6}\,;\,\dfrac{5\pi}{6}\right\}\).

17 Une inéquation avec le cosinus ★★★

\(\cos x = \dfrac{\sqrt{2}}{2}\) pour \(x = \pm\dfrac{\pi}{4}\). Sur le cercle, les points d’abscisse supérieure ou égale à \(\dfrac{\sqrt{2}}{2}\) sont ceux de l’arc qui contient le point \(I\), entre \(M\left(-\dfrac{\pi}{4}\right)\) et \(M\left(\dfrac{\pi}{4}\right)\).

\(S = \left[-\dfrac{\pi}{4}\,;\,\dfrac{\pi}{4}\right]\).

18 Une inéquation avec le sinus ★★★

\(\sin x = -\dfrac{1}{2}\) pour \(x = -\dfrac{\pi}{6}\) et \(x = -\dfrac{5\pi}{6}\). Les points d’ordonnée strictement inférieure à \(-\dfrac{1}{2}\) forment l’arc du bas du cercle, qui contient \(M\left(-\dfrac{\pi}{2}\right)\) (où \(\sin x = -1\)).

\(S = \left]-\dfrac{5\pi}{6}\,;\,-\dfrac{\pi}{6}\right[\), bornes exclues.

19 Une identité et ses conséquences ★★★

a) On développe : \((\cos x + \sin x)^2 = \cos^2 x + 2\sin x\cos x + \sin^2 x = 1 + 2\sin x\cos x\), car \(\cos^2 x + \sin^2 x = 1\).

b) On a \(\left(\dfrac{1}{2}\right)^2 = 1 + 2\sin x\cos x\), donc \(2\sin x\cos x = \dfrac{1}{4} - 1 = -\dfrac{3}{4}\) et \(\sin x\cos x = -\dfrac{3}{8}\).

20 Périodicité de sin(2x) ★★★

a) \(f(-x) = \sin(-2x) = -\sin(2x) = -f(x)\) : \(f\) est impaire.

b) \(f(x + \pi) = \sin(2x + 2\pi) = \sin(2x) = f(x)\) : \(f\) est périodique de période \(\pi\).

c) \(f\left(\dfrac{\pi}{12}\right) = \sin\dfrac{\pi}{6} = \dfrac{1}{2}\) ; \(f\left(-\dfrac{\pi}{12}\right) = -\dfrac{1}{2}\) par imparité ; \(f\left(\dfrac{13\pi}{12}\right) = f\left(\dfrac{\pi}{12} + \pi\right) = f\left(\dfrac{\pi}{12}\right) = \dfrac{1}{2}\).

21 Les marées d’un petit port ★★★

a) \(h(0) = 4 + 1{,}5 = 5{,}5\) m (pleine mer) ; \(h(3) = 4 + 1{,}5\cos\dfrac{\pi}{2} = 4\) m ; \(h(6) = 4 + 1{,}5\cos\pi = 2{,}5\) m (basse mer).

b) \(\cos\left(\dfrac{\pi(t + 12)}{6}\right) = \cos\left(\dfrac{\pi t}{6} + 2\pi\right) = \cos\left(\dfrac{\pi t}{6}\right)\) : la période est \(12\) heures.

c) \(h(t) = 4{,}75 \iff 1{,}5\cos\left(\dfrac{\pi t}{6}\right) = 0{,}75 \iff \cos\left(\dfrac{\pi t}{6}\right) = \dfrac{1}{2}\). Donc \(\dfrac{\pi t}{6} = \dfrac{\pi}{3} + 2k\pi\) ou \(-\dfrac{\pi}{3} + 2k\pi\), soit \(t = 2 + 12k\) ou \(t = -2 + 12k\). Dans \([0\,;\,12]\) : \(t = 2\) et \(t = 10\). La hauteur vaut \(4{,}75\) m 2 h et 10 h après la pleine mer.