Cercle et disque : exercices corrigés de maths 6ème

1 Du rayon au diamètre ★★★

Le diamètre est le double du rayon : \(d = 2 \times r\).

1. \(2 \times 7 = 14\) : le diamètre mesure \(14\text{ cm}\).
2. \(2 \times 4{,}5 = 9\) : le diamètre mesure \(9\text{ cm}\).
3. \(2 \times 12 = 24\) : le diamètre mesure \(24\text{ mm}\).

2 Du diamètre au rayon ★★★

Le rayon est la moitié du diamètre : \(r = d \div 2\).

1. \(18 \div 2 = 9\) : le rayon mesure \(9\text{ cm}\).
2. \(5 \div 2 = 2{,}5\) : le rayon mesure \(2{,}5\text{ cm}\).
3. \(3{,}6 \div 2 = 1{,}8\) : le rayon mesure \(1{,}8\text{ m}\).

3 Le vocabulaire sur la figure ★★★

1. [OC] relie le centre O à un point du cercle : c’est un rayon.
2. [AB] relie deux points du cercle et passe par le centre : c’est un diamètre.
3. [DE] relie deux points du cercle sans passer par le centre : c’est une corde (qui n’est pas un diamètre).
4. OA est la distance du centre à un point du cercle : c’est le rayon du cercle.

4 Vrai ou faux ? ★★★

1. Vrai. Ses extrémités sont deux points du cercle.
2. Faux. Le centre est à l’intérieur du cercle, à la distance 0 du centre, alors que les points du cercle sont à la distance r.
3. Vrai. Tous les points du cercle sont à la même distance du centre.
4. Faux. Une corde peut être très courte : si ses deux extrémités sont très proches, elle est plus petite que le rayon.

5 Dedans, dessus ou dehors ★★★

On compare chaque distance au rayon \(5\text{ cm}\).

• \(3{,}2 < 5\) : A est à l’intérieur.
• \(5 = 5\) : B est sur le cercle.
• \(6{,}5 > 5\) : C est à l’extérieur.
• \(4{,}9 < 5\) : D est à l’intérieur (de très peu).
• \(5{,}1 > 5\) : E est à l’extérieur (de très peu).

6 Compléter ★★★

1. \(11 \div 2 = 5{,}5\) : le rayon est de 5,5 cm.
2. \(2 \times 2{,}5 = 5\) : le diamètre est de 5 dm, soit 50 cm.
3. La plus grande corde est un diamètre : \(2 \times 6 = 12\). Elle mesure 12 cm.

7 Tracer au compas ★★★

On règle le compas sur \(3\text{ cm}\), on plante la pointe en O et on trace le cercle. A est n’importe quel point du cercle. Pour B, on prend un point à \(2\text{ cm}\) de O avec la règle graduée, par exemple sur le segment [OA] ; pour C, un point à \(4\text{ cm}\) de O, par exemple sur la demi-droite [OA) au-delà de A.

Comme \(2 < 3\), B est à l’intérieur du cercle. Comme \(4 > 3\), C est à l’extérieur.

8 Deux cercles et un triangle ★★★

1. C est sur le cercle de centre A et de rayon \(4\text{ cm}\), donc \(AC = 4\text{ cm}\). C est aussi sur le cercle de centre B de même rayon, donc \(BC = 4\text{ cm}\).
2. Le triangle ABC a deux côtés de même longueur (\(AC = BC = 4\text{ cm}\)) et un troisième de \(6\text{ cm}\) : il est isocèle en C. Il n’est pas équilatéral, car \(AB = 6\text{ cm}\).

9 La nappe de la table ronde ★★★

Le rayon de la table est \(1{,}2 \div 2 = 0{,}6\text{ m}\), soit \(60\text{ cm}\). La nappe dépasse de \(15\text{ cm}\) tout autour, donc son rayon est \(60 + 15 = 75\text{ cm}\). Son diamètre est \(2 \times 75 = 150\text{ cm}\).

Réponse : la nappe a un diamètre de \(150\text{ cm}\), soit \(1{,}5\text{ m}\).

10 Segment dans un cercle ★★★

1. B est sur le cercle, donc \(OB = 4{,}5\text{ cm}\) (c’est un rayon).
2. \(OA + OB = 4{,}5 + 4{,}5 = 9\text{ cm}\), et \(AB = 9\text{ cm}\). La distance AB est égale à la somme OA + OB : le point O est donc sur le segment [AB]. Ainsi [AB] relie deux points du cercle en passant par le centre : c’est un diamètre. On retrouve aussi \(d = 2 \times 4{,}5 = 9\text{ cm}\).

11 Points sur une droite graduée ★★★

Sur une droite graduée de centre O en 0, la distance à O est la valeur absolue de l’abscisse.

• A : \(OA = 2\text{ cm}\), \(2 < 3\) : à l’intérieur.
• B : \(OB = 3\text{ cm}\) : sur le cercle.
• C : \(OC = 1{,}5\text{ cm}\), \(1{,}5 < 3\) : à l’intérieur.
• D : \(OD = 4\text{ cm}\), \(4 > 3\) : à l’extérieur.
• E : \(OE = 4{,}5\text{ cm}\), \(4{,}5 > 3\) : à l’extérieur.

12 Disque ou cercle ? ★★★

Le rayon est \(10 \div 2 = 5\text{ cm}\). Le disque contient les points à une distance du centre inférieure ou égale à \(5\text{ cm}\) ; le cercle contient ceux dont la distance est exactement \(5\text{ cm}\).

• M : \(4 < 5\) : M appartient au disque mais pas au cercle.
• N : \(5 = 5\) : N appartient au cercle et au disque.
• P : \(5{,}2 > 5\) : P n’appartient ni au disque ni au cercle.
• O : \(OO = 0 < 5\) : le centre appartient au disque, pas au cercle.

13 La cible ★★★

On repère la zone de chaque fléchette avec sa distance au centre.

• \(0{,}8 < 1\) : 10 points.
• \(1 < 2{,}9 < 3\) : 5 points.
• \(3 < 3{,}1 < 5\) : 3 points.
• \(5 < 6{,}4 < 7\) : 1 point.
• \(7{,}2 > 7\) : en dehors de la cible, 0 point.

Total : \(10 + 5 + 3 + 1 + 0 = 19\).

Réponse : le joueur marque 19 points.

14 Des roues ★★★

1. \(0{,}33\text{ m} = 33\text{ cm}\), donc \(d = 2 \times 33 = 66\text{ cm}\).
2. \(r = 8 \div 2 = 4\text{ cm}\).
3. \(66 - 8 = 58\) : le diamètre de la roue de vélo dépasse celui de la roue de rollers de \(58\text{ cm}\).

15 Le chemin en hexagone ★★★

1. OA et OB sont des rayons : \(OA = OB = 4\text{ cm}\). Le compas est réglé sur \(4\text{ cm}\), donc \(AB = 4\text{ cm}\). Les trois côtés mesurent \(4\text{ cm}\) : le triangle OAB est équilatéral.
2. Chaque triangle équilatéral a un angle de \(60°\) en O et \(6 \times 60° = 360°\) : après six marques, on revient en A. Les six points sont les sommets d’un hexagone régulier.
3. Les trois angles de \(60°\) en O forment ensemble \(3 \times 60° = 180°\), un angle plat : A, O et D sont alignés. AD passe par le centre, c’est un diamètre : \(AD = 2 \times 4 = 8\text{ cm}\).

16 Cercles qui se touchent ★★★

1. M est sur [AB], donc \(AM + MB = AB\) et \(MB = 7 - 4 = 3\text{ cm}\).
2. \(AM = 4\text{ cm}\) : M est à la distance du rayon du centre A, donc M est sur le premier cercle. \(BM = 3\text{ cm}\) : M est sur le second cercle. M est donc un point commun aux deux cercles ; ils se touchent en ce point, sur le segment [AB].

17 Cercle à partir d’un segment ★★★

1. I est le milieu de [AB] : \(IA = IB = 12 \div 2 = 6\text{ cm}\). \(\mathcal{C}_1\) passe par A, son rayon est \(IA = 6\text{ cm}\). Comme \(IB = 6\text{ cm}\), B est sur \(\mathcal{C}_1\) et [AB] est un diamètre.
2. Le rayon de \(\mathcal{C}_2\) est \(AB = 12\text{ cm}\) et \(AI = 6\text{ cm} < 12\text{ cm}\) : I est à l’intérieur de \(\mathcal{C}_2\).
3. N est au-delà de B sur la demi-droite, donc \(IN = 15 - 6 = 9\text{ cm}\). Pour \(\mathcal{C}_1\) : \(9 > 6\), N est à l’extérieur. Pour \(\mathcal{C}_2\) : \(AN = 15 > 12\), N est aussi à l’extérieur.

18 Le rond-point ★★★

Le rond-point a pour rayon \(30 \div 2 = 15\text{ m}\) ; l’îlot a pour rayon \(4\text{ m}\). La chaussée est la zone entre les deux cercles.

• (a) \(3 < 4\) : sur l’îlot.
• (b) \(4 = 4\) : au bord de l’îlot.
• (c) \(4 < 11 < 15\) : sur la chaussée.
• (d) \(15 = 15\) : au bord extérieur du rond-point.
• (e) \(16 > 15\) : en dehors du rond-point.

19 La marguerite dans l’ordre ★★★

L’ordre est : c, b, d, a, e. On règle d’abord le compas (c), on trace le cercle central (b), on marque le premier point B à partir de A (d), on continue autour du cercle (a), puis on trace les six cercles (e).

On ne change pas l’écartement car il garde le rayon \(3\text{ cm}\) : tous les points marqués sont alors à \(3\text{ cm}\) de leur voisin et les six cercles ont le même rayon que le cercle central.

20 Vrai ou faux, avec preuve ★★★

1. Vrai. Si M était sur les deux cercles, on aurait \(OM = r_1\) et \(OM = r_2\) avec \(r_1 \neq r_2\) : impossible.
2. Faux. Tous les diamètres ont la même longueur, mais il y en a une infinité : chaque point du cercle est l’extrémité d’un diamètre.
3. Vrai. A et B sont à la même distance de O : ce sont deux points du cercle de centre O et de rayon OA.

21 La portée du Wi-Fi ★★★

1. L’ordinateur : \(18 < 25\), il est à l’intérieur du disque, donc couvert. La piscine : \(25 = 25\), elle est sur le cercle, c’est-à-dire à la limite de la zone (le disque contient son bord). Le garage : \(31 > 25\), il est à l’extérieur, donc non couvert.
2. Il faut un rayon d’au moins \(31\text{ m}\).
3. \(d = 2 \times 31 = 62\) : la zone a alors un diamètre de \(62\text{ m}\).