Une roue, une pièce, une pizza, le dessous d’une assiette : le cercle est partout. Dans ce chapitre, tu apprends à le décrire avec les bons mots, à le tracer au compas et à repérer où se trouvent les points autour de lui.
1. Le cercle : un centre et un rayon
Pour tracer un cercle, on plante la pointe du compas en un point, puis on tourne : le crayon dessine une courbe fermée dont tous les points sont à la même distance du point où la pointe est plantée.
Un cercle de centre O et de rayon r est l’ensemble de tous les points situés à la distance r du point O. Le point O s’appelle le centre. Un rayon est un segment qui relie le centre à un point du cercle ; c’est aussi la longueur de ce segment.
Attention : le centre n’est pas un point du cercle, il est à l’intérieur. Un cercle possède une infinité de rayons, mais ils ont tous la même longueur.
2. Le diamètre
Un diamètre est un segment qui relie deux points du cercle en passant par le centre. C’est aussi la longueur de ce segment.
Le diamètre est le double du rayon : \(d = 2 \times r\), et le rayon est la moitié du diamètre : \(r = d \div 2\).
Une assiette ronde a un rayon de \(12{,}5\text{ cm}\). Son diamètre mesure \(2 \times 12{,}5 = 25\text{ cm}\). Un plateau de diamètre \(30\text{ cm}\) a un rayon de \(30 \div 2 = 15\text{ cm}\).
3. Corde et arc de cercle
Une corde est un segment dont les deux extrémités sont des points du cercle. Un arc de cercle est une partie du cercle comprise entre deux de ses points.
Deux points D et E du cercle délimitent une corde [DE] et deux arcs : un petit et un grand. Le diamètre est une corde particulière : c’est celle qui passe par le centre, et c’est aussi la plus longue corde du cercle.
Un rayon n’est pas une corde, car une de ses extrémités est le centre, qui n’est pas sur le cercle. Un diamètre, lui, est bien une corde.
4. Le disque et le cercle
Le disque de centre O et de rayon r est la surface formée de tous les points dont la distance à O est inférieure ou égale à r. Le cercle est le bord du disque.
Pense à une pièce de monnaie : le disque, c’est toute la pièce ; le cercle, c’est seulement son contour. On colorie un disque, on trace un cercle.
5. Où se trouve un point ?
Pour savoir où est un point M par rapport à un cercle de centre O et de rayon r, on compare la distance OM au rayon r.
| Distance | Position de M | Appartient au disque ? |
|---|---|---|
| \(OM < r\) | à l’intérieur du cercle | oui |
| \(OM = r\) | sur le cercle | oui |
| \(OM > r\) | à l’extérieur du cercle | non |
Un cercle a pour centre O et pour rayon \(5\text{ cm}\). Le point M est tel que \(OM = 3{,}8\text{ cm}\) : comme \(3{,}8 < 5\), M est à l’intérieur du cercle. Le point N est tel que \(ON = 5\text{ cm}\) : N est sur le cercle. Le point S est tel que \(OS = 6{,}2\text{ cm}\) : comme \(6{,}2 > 5\), S est à l’extérieur.
6. Tracer un cercle au compas
- Place le point O sur ta feuille.
- Règle l’écartement du compas : pose la pointe sur le 0 de la règle et la mine sur le 3 (ou sur 3 cm).
- Plante la pointe en O et fais tourner le compas d’un seul mouvement, en le tenant par la tête.
Pour un cercle de diamètre donné, on règle le compas sur la moitié de ce diamètre : le compas se règle toujours avec le rayon.
Sur ma planète, on dit que le compas est une « règle qui tourne ». Pour reporter une longueur sans la mesurer, garde l’écartement : le compas la retient pour toi !
7. Figures composées et reproduction
Beaucoup de jolies figures ne sont que des cercles bien placés. Pour en reproduire une, on repère d’abord les centres et les rayons de chaque cercle, puis on les trace dans le bon ordre.
On trace un cercle de centre O et de rayon \(3\text{ cm}\). Sans changer l’écartement du compas, on plante la pointe en un point A du cercle et on marque un point B sur le cercle. On recommence de B en C, de C en D, et ainsi de suite : on obtient six points. Il ne reste qu’à tracer six cercles de rayon \(3\text{ cm}\) centrés sur ces points.
Pour deux cercles qui se coupent, on utilise aussi le compas pour construire un point à deux distances données : le point C tel que \(AC = 4\text{ cm}\) et \(BC = 4\text{ cm}\) est à l’intersection du cercle de centre A et du cercle de centre B, tous deux de rayon \(4\text{ cm}\).
Ne confonds pas « tracer un cercle de rayon 4 cm » et « tracer un cercle de diamètre 4 cm » : dans le second cas, on règle le compas sur \(2\text{ cm}\).
À retenir
- Tous les points d’un cercle sont à la même distance du centre : cette distance est le rayon.
- Le diamètre passe par le centre et vaut le double du rayon : \(d = 2r\).
- Une corde relie deux points du cercle ; le diamètre est la plus longue des cordes.
- Un arc de cercle est une partie du cercle ; le disque est la surface limitée par le cercle.
- On compare \(OM\) et \(r\) : à l’intérieur si \(OM < r\), sur le cercle si \(OM = r\), à l’extérieur si \(OM > r\).
- Le compas se règle sur le rayon ; pour reproduire une figure, on trace d’abord les centres et les rayons.
