Triangles et quadrilatères : exercices corrigés de maths 6ème

1 Nommer des triangles ★★★

1. Trois côtés égaux : triangle équilatéral.
2. Deux côtés égaux de \(6\text{ cm}\) : triangle isocèle.
3. Trois longueurs différentes : triangle quelconque.
4. Deux côtés égaux de \(8\text{ cm}\) : triangle isocèle.

2 Vrai ou faux ? ★★★

1. Vrai : il a trois côtés égaux, donc au moins deux.
2. Vrai : un carré a quatre angles droits, c’est la définition du rectangle.
3. Faux : un losange a quatre côtés égaux mais ses angles ne sont pas forcément droits ; seul le carré a quatre angles droits.
4. Faux : un rectangle de \(8\text{ cm}\) sur \(3\text{ cm}\) a des côtés de longueurs différentes.
5. Vrai : c’est une propriété des parallélogrammes.

3 Le triangle existe-t-il ? ★★★

On compare le plus grand côté à la somme des deux autres.

1. \(3 + 4 = 7 > 5\) : oui.
2. \(2 + 3 = 5 < 6\) : non.
3. \(4 + 4 = 8\), égal à \(8\) : triangle aplati, donc non.
4. \(6 + 7 = 13 > 9\) : oui.
5. \(5 + 5 = 10 > 9\) : oui.

4 Le nom le plus précis ★★★

1. Rectangle.
2. Losange.
3. Carré.
4. Parallélogramme.

5 Des périmètres ★★★

1. \(7 + 7 + 4{,}5 = 18{,}5\) : le périmètre est \(18{,}5\text{ cm}\).
2. \(4 \times 6{,}5 = 26\) : \(26\text{ cm}\).
3. \(2 \times (8 + 3{,}5) = 2 \times 11{,}5 = 23\) : \(23\text{ cm}\).
4. \(4 \times 4{,}2 = 16{,}8\) : \(16{,}8\text{ cm}\).

6 Un rectangle à compléter ★★★

Les côtés opposés d’un rectangle ont la même longueur : \(CD = AB = 9\text{ cm}\) et \(DA = BC = 4\text{ cm}\). Un rectangle a quatre angles droits : \(\widehat{ABC} = 90^\circ\).

Les diagonales ont la même longueur : \(BD = AC \approx 9{,}8\text{ cm}\). Elles se coupent en leur milieu : \(AO \approx 9{,}8 \div 2 = 4{,}9\text{ cm}\).

7 Lire une figure codée ★★★

Les côtés \([AB]\) et \([AC]\) portent le même codage : ils ont la même longueur, donc \(ABC\) est isocèle en \(A\). Le petit carré en \(A\) indique un angle droit : \(ABC\) est rectangle en \(A\). C’est donc un triangle isocèle rectangle en \(A\).

8 Construire un triangle ★★★

Le plus grand côté est \(AB = 6\text{ cm}\) et \(4{,}5 + 5 = 9{,}5 > 6\) : le triangle existe.

1. Trace le segment \([AB]\) de \(6\text{ cm}\).
2. Avec le compas pointé en \(A\) et ouvert de \(4{,}5\text{ cm}\), trace un arc de cercle.
3. Pointe en \(B\) avec un écartement de \(5\text{ cm}\) et trace un second arc qui coupe le premier en \(C\).
4. Trace \([AC]\) et \([BC]\).

9 Triangle isocèle et périmètre ★★★

Il est isocèle en \(A\), donc \(AC = AB = 9\text{ cm}\). Les deux côtés égaux mesurent \(9 + 9 = 18\text{ cm}\), donc \(BC = 25 - 18 = 7\text{ cm}\).

Le plus grand côté est \(9\text{ cm}\) et \(9 + 7 = 16 > 9\) : le triangle existe.

10 Une piste de skate ★★★

Le périmètre vaut \(2 \times (L + l) = 30\), donc \(L + l = 15\text{ m}\). Comme \(L = 9\text{ m}\), on a \(l = 15 - 9 = 6\text{ m}\).

Vérification : \(2 \times (9 + 6) = 30\). La largeur est de \(6\text{ m}\).

11 Les diagonales d’un losange ★★★

1. Un losange a quatre côtés égaux : \(4 \times 5 = 20\), soit \(20\text{ cm}\).
2. Les diagonales se coupent en leur milieu : \(OA = 8 \div 2 = 4\text{ cm}\) et \(OB = 6 \div 2 = 3\text{ cm}\).
3. Les diagonales d’un losange sont perpendiculaires : \(\widehat{AOB} = 90^\circ\).

12 Un parallélogramme à compléter ★★★

Les côtés opposés d’un parallélogramme sont égaux : \(CD = AB = 4\text{ cm}\) et \(DA = BC = 5\text{ cm}\).

Les diagonales se coupent en leur milieu : \(AC = 2 \times 3{,}5 = 7\text{ cm}\) et \(BD = 2 \times 2{,}8 = 5{,}6\text{ cm}\).

Périmètre : \(2 \times (4 + 5) = 18\text{ cm}\).

13 Qui suis-je ? ★★★

1. Un parallélogramme.
2. Un rectangle.
3. Un losange.
4. Un carré.

Chaque propriété ajoutée précise la figure : milieu commun, puis longueurs égales (rectangle) ou perpendicularité (losange), et les deux ensemble (carré).

14 Un fil de fer à plier ★★★

Losange : \(40 \div 4 = 10\), le côté mesure \(10\text{ cm}\). Carré : de même, \(10\text{ cm}\).

Rectangle : \(L + l = 40 \div 2 = 20\), donc \(l = 20 - 14 = 6\text{ cm}\).

15 Combien de longueurs possibles ? ★★★

Notons \(x\) la longueur de la troisième baguette. Il faut que \(x < 12 + 7 = 19\) et que \(12 < 7 + x\), c’est-à-dire \(x > 5\).

Avec \(x = 5\) ou \(x = 19\), le triangle serait aplati. Les longueurs possibles sont \(6, 7, 8, \dots, 18\) : il y en a \(18 - 6 + 1 = 13\).

16 Isocèle : deux solutions ★★★

Cas 1 : \(12\text{ cm}\) est la longueur de l’un des deux côtés égaux. Les deux côtés égaux font \(24\text{ cm}\) et le troisième mesure \(29 - 24 = 5\text{ cm}\). Triangle \(12, 12, 5\) : \(12 < 17\), il existe.

Cas 2 : \(12\text{ cm}\) est la base. Les deux côtés égaux mesurent \((29 - 12) \div 2 = 8{,}5\text{ cm}\). Triangle \(8{,}5, 8{,}5, 12\) : \(17 > 12\), il existe.

Les deux solutions sont \(12, 12, 5\) et \(8{,}5, 8{,}5, 12\).

17 Deux programmes de construction ★★★

Programme A. \(O\) est le milieu de \([AC]\) et de \([BD]\) (\(OB = OD = 4\text{ cm}\)). Les diagonales ont le même milieu, sont perpendiculaires, et \(AC = 8\text{ cm} = BD\). Elles ont aussi la même longueur : \(ABCD\) est un carré.

Programme B. Les diagonales ont le même milieu et sont perpendiculaires, mais \(BD = 6\text{ cm}\) et \(AC = 8\text{ cm}\) sont différentes : \(ABCD\) est un losange qui n’est pas un carré.

18 Rédiger un programme ★★★

1. Trace le segment \([AB]\) de \(6\text{ cm}\).
2. Trace la demi-droite d’origine \(A\) qui forme avec \([AB)\) un angle de \(70^\circ\).
3. Place \(D\) sur cette demi-droite tel que \(AD = 4\text{ cm}\).
4. Trace un arc de cercle de centre \(D\) et de rayon \(6\text{ cm}\).
5. Trace un arc de cercle de centre \(B\) et de rayon \(4\text{ cm}\) ; il coupe le premier arc en \(C\).
6. Trace \([BC]\), \([CD]\) pour obtenir \(ABCD\).

On a \(DC = AB\) et \(BC = AD\) : les côtés opposés sont égaux, c’est bien un parallélogramme.

19 L’erreur de Léa ★★★

1. Non : quatre côtés égaux définissent un losange. Un losange peut avoir des angles qui ne sont pas droits (un losange « penché »), il n’est alors pas un carré.
2. Il suffit de montrer qu’il a aussi un angle droit (ou que ses diagonales ont la même longueur) : un losange qui a un angle droit est un carré.

20 Les baguettes de Tom ★★★

1. \(9 + 6 = 15 < 17\) : non.
2. Il faut \(x < 9 + 6 = 15\) donc \(x \le 14\text{ cm}\) (avec \(15\) le triangle serait aplati).
3. Il faut \(9 + y > 17\), donc \(y > 8\), et la longueur entière minimale est \(9\text{ cm}\).

21 Le rectangle et son centre ★★★

1. \(O\) est le milieu de \([AC]\) : \(AC = 2 \times 6{,}5 = 13\text{ cm}\). Les diagonales ont la même longueur : \(BD = 13\text{ cm}\), donc \(OB = OC = OD = 6{,}5\text{ cm}\).
2. \(OA = OB = 6{,}5\text{ cm}\) : \(OAB\) est isocèle en \(O\).
3. Périmètre : \(6{,}5 + 6{,}5 + 5 = 18\text{ cm}\).