Une charpente de toit, un cerf-volant, un carrelage, un terrain de foot : autour de toi, on ne voit que des triangles et des quadrilatères ! Dans ce chapitre, tu vas apprendre à les reconnaître grâce à leurs côtés, à leurs angles et à leurs diagonales, puis à les construire avec précision.
1. Les triangles particuliers
Un triangle est un polygone qui a trois côtés et trois sommets. Selon la longueur de ses côtés, il peut avoir un nom particulier.
- Un triangle quelconque a trois côtés de longueurs différentes.
- Un triangle isocèle a deux côtés de même longueur. Le sommet commun à ces deux côtés est le sommet principal.
- Un triangle équilatéral a ses trois côtés de même longueur.
Sur une figure, on code les côtés de même longueur avec le même nombre de petits traits. Un triangle équilatéral est donc aussi un triangle isocèle, mais l’inverse est faux : un triangle isocèle n’a pas forcément ses trois côtés égaux.
Un triangle \(RST\) a pour côtés \(RS = 6\text{ cm}\), \(ST = 6\text{ cm}\) et \(RT = 4\text{ cm}\). Deux côtés sont égaux et le troisième est différent : \(RST\) est isocèle en \(S\), car \(S\) est le sommet commun aux deux côtés égaux.
2. Le triangle rectangle
Un triangle rectangle est un triangle qui possède un angle droit. Le sommet de l’angle droit est le sommet de l’angle droit, et les deux côtés qui forment cet angle sont perpendiculaires.
Pour vérifier qu’un angle est droit, on utilise l’équerre : un de ses côtés doit s’appuyer parfaitement sur chaque côté de l’angle. Sur une figure, on marque l’angle droit avec un petit carré.
Un triangle peut avoir deux « noms » à la fois : il peut être rectangle et isocèle si les deux côtés de l’angle droit ont la même longueur. On dit alors qu’il est isocèle rectangle.
Un triangle ne peut pas avoir deux angles droits. Un triangle équilatéral n’est jamais rectangle.
3. L’inégalité triangulaire
Pour aller du point \(A\) au point \(B\), le chemin le plus court est toujours la ligne droite. Passer par un troisième point \(C\) oblige à faire un détour.
Dans un triangle \(ABC\), chaque côté est plus court que la somme des deux autres : \(AB < AC + CB\). Trois longueurs ne permettent de construire un triangle que si la plus grande est strictement plus petite que la somme des deux autres.
Si la plus grande longueur est exactement égale à la somme des deux autres, les trois points sont alignés : on obtient un triangle « aplati », ce n’est pas un vrai triangle.
Peut-on construire un triangle de côtés \(4\text{ cm}\), \(5\text{ cm}\) et \(10\text{ cm}\) ? La plus grande longueur est \(10\text{ cm}\) et \(4 + 5 = 9\). Comme \(10 > 9\), c’est impossible. Avec \(4\text{ cm}\), \(5\text{ cm}\) et \(8\text{ cm}\), on a \(4 + 5 = 9 > 8\) : le triangle existe.
Sur ma planète, nous testons toujours les longueurs avant de dessiner : on compare uniquement le plus grand côté avec la somme des deux autres. Un seul calcul suffit, inutile de vérifier les trois !
4. Construire un triangle
Quand on connaît les trois longueurs, on utilise la règle graduée et le compas.
- Vérifie avec l’inégalité triangulaire que le triangle existe.
- Trace le plus grand côté, par exemple \([AB]\), avec la règle graduée.
- Pointe le compas en \(A\) avec l’écartement de la deuxième longueur et trace un arc de cercle.
- Pointe le compas en \(B\) avec l’écartement de la troisième longueur et trace un second arc qui coupe le premier : l’intersection est le point \(C\).
- Trace \([AC]\) et \([BC]\) et garde les traits de construction.
Construire \(ABC\) avec \(AB = 6\text{ cm}\), \(AC = 4\text{ cm}\) et \(BC = 5\text{ cm}\). Le plus grand côté est \(AB\) et \(4 + 5 = 9 > 6\) : c’est possible. On trace \([AB]\) de \(6\text{ cm}\), un arc de rayon \(4\text{ cm}\) centré en \(A\), un arc de rayon \(5\text{ cm}\) centré en \(B\), et \(C\) est leur point d’intersection.
5. Le carré et le rectangle
- Un rectangle est un quadrilatère qui a quatre angles droits.
- Un carré est un quadrilatère qui a quatre angles droits et quatre côtés de même longueur.
Dans un rectangle, les côtés opposés sont parallèles et ont la même longueur. Un carré est donc un rectangle particulier, dont tous les côtés sont égaux. Le périmètre d’un rectangle de longueur \(L\) et de largeur \(l\) est \(2 \times (L + l)\) ; celui d’un carré de côté \(c\) est \(4 \times c\).
6. Le losange et le parallélogramme
- Un parallélogramme est un quadrilatère dont les côtés opposés sont parallèles deux à deux.
- Un losange est un quadrilatère dont les quatre côtés ont la même longueur.
Dans un parallélogramme, les côtés opposés ont aussi la même longueur. Le rectangle et le losange sont des parallélogrammes particuliers, et le carré est à la fois un rectangle et un losange.
Un losange n’a pas forcément d’angle droit : un losange avec un angle droit est un carré. Quatre côtés égaux ne suffisent donc pas pour dire « carré ».
7. Les diagonales
Une diagonale d’un quadrilatère est un segment qui relie deux sommets non consécutifs. Un quadrilatère a deux diagonales. Leurs propriétés permettent de reconnaître chaque figure.
- Dans un parallélogramme, les diagonales se coupent en leur milieu.
- Dans un rectangle, les diagonales se coupent en leur milieu et ont la même longueur.
- Dans un losange, les diagonales se coupent en leur milieu et sont perpendiculaires.
- Dans un carré, les diagonales se coupent en leur milieu, ont la même longueur et sont perpendiculaires.
| Quadrilatère | Même milieu | Même longueur | Perpendiculaires |
|---|---|---|---|
| Parallélogramme | oui | non | non |
| Rectangle | oui | oui | non |
| Losange | oui | non | oui |
| Carré | oui | oui | oui |
Ces propriétés servent aussi à construire : si deux segments ont le même milieu, leurs extrémités forment un parallélogramme. Si, en plus, ils ont la même longueur, c’est un rectangle. S’ils sont perpendiculaires, c’est un losange.
Dans un rectangle \(ABCD\) de centre \(O\), on sait que \(AC = 10\text{ cm}\). Les diagonales ont la même longueur, donc \(BD = 10\text{ cm}\). Elles se coupent en leur milieu, donc \(OA = OB = OC = OD = 5\text{ cm}\).
8. Programme de construction
Un programme de construction est une liste d’instructions écrites dans l’ordre, qui permet de refaire une figure sans la voir. Chaque phrase est courte et indique une seule action avec des noms de points.
- Fais d’abord une figure à main levée en suivant chaque instruction.
- Code les longueurs égales, les angles droits et les milieux.
- Repère la propriété des diagonales ou des côtés qui s’applique pour nommer la figure.
- Rédige la réponse en citant la propriété utilisée.
Programme : « Trace un segment \([AC]\) de \(6\text{ cm}\). Place son milieu \(O\). Trace la perpendiculaire à \((AC)\) passant par \(O\). Place \(B\) et \(D\) sur cette droite, à \(2\text{ cm}\) de \(O\) de chaque côté. Trace \(ABCD\). » Les diagonales \([AC]\) et \([BD]\) se coupent en leur milieu \(O\) et sont perpendiculaires : \(ABCD\) est un losange. Comme \(AC = 6\text{ cm}\) et \(BD = 4\text{ cm}\) ne sont pas égales, ce n’est pas un carré.
À retenir
- Triangle isocèle : deux côtés égaux ; équilatéral : trois côtés égaux ; rectangle : un angle droit.
- Inégalité triangulaire : le plus grand côté doit être strictement plus petit que la somme des deux autres.
- Pour construire un triangle, on trace le plus grand côté puis on croise deux arcs de cercle au compas.
- Rectangle : quatre angles droits. Losange : quatre côtés égaux. Carré : les deux à la fois.
- Parallélogramme : côtés opposés parallèles et diagonales de même milieu.
- Rectangle : diagonales de même longueur. Losange : diagonales perpendiculaires. Carré : les deux.
- Un programme de construction se lit avec une figure à main levée et se rédige point par point.
