Suites numériques : exercices corrigés de maths 1ère

Sommaire

\(u_0 = 5\) ; \(u_1 = 3 - 2 + 5 = 6\) ; \(u_2 = 12 - 4 + 5 = 13\) ; \(u_3 = 27 - 6 + 5 = 26\).

\(w_1 = \dfrac{4}{2} + 3 = 5\) ; \(w_2 = \dfrac{5}{2} + 3 = 5{,}5\) ; \(w_3 = \dfrac{5{,}5}{2} + 3 = 5{,}75\).

Les différences valent 4, 4, 4 : arithmétique de raison 4.
Les quotients valent \(\dfrac{6}{2} = \dfrac{18}{6} = \dfrac{54}{18} = 3\) : géométrique de raison 3.
Les différences (3, 5, 7) ne sont pas constantes et les quotients (4 puis \(2{,}25\)) non plus : aucune des deux.

Vrai : \(u_{n+1} - u_n = -2 < 0\) pour tout \(n\).
Faux. Contre-exemple : \(u_n = -(n-2)^2\) donne \(u_0 = -4\), \(u_1 = -1\) donc \(u_1 > u_0\), mais \(u_2 = 0\) et \(u_3 = -1\) : \(u_3 < u_2\), la suite n’est pas croissante.

\(u_n = u_0 + nr = 7 - 3n\). Donc \(u_{12} = 7 - 36 = -29\).

\(v_n = 5 \times 2^n\), donc \(v_6 = 5 \times 64 = 320\).

\(u_{n+1} - u_n = (n+1)^2 + 5(n+1) - 1 - (n^2 + 5n - 1) = 2n + 1 + 5 = 2n + 6\).

Pour tout \(n \geqslant 0\), \(2n + 6 > 0\) : la suite est strictement croissante.

\(u_{n+1} - u_n = \dfrac{7}{n+2} - \dfrac{7}{n+1} = \dfrac{7(n+1) - 7(n+2)}{(n+1)(n+2)} = \dfrac{-7}{(n+1)(n+2)}\).

Ce nombre est strictement négatif pour tout \(n \geqslant 0\) : la suite est décroissante.

\(v_4 = 3 \times 0{,}5^4 = \dfrac{3}{16} = 0{,}1875\).
\(v_0 > 0\) et \(0 < q < 1\) : la suite est décroissante.
\(S = 3 \times \dfrac{1 - 0{,}5^5}{1 - 0{,}5} = 6 \times \dfrac{31}{32} = 5{,}8125\).

On ajoute 22 chaque mois : suite arithmétique de raison 22 et \(c_0 = 30\), donc \(c_n = 30 + 22n\).
\(c_{12} = 30 + 264 = 294\) €.
\(30 + 22n > 500\) équivaut à \(n > \dfrac{470}{22} \approx 21{,}36\). On a \(c_{21} = 492\) et \(c_{22} = 514\) : c’est à partir du 22e mois.

Suite géométrique de raison \(1{,}5\) : \(b_n = 200 \times 1{,}5^n\).
\(b_3 = 200 \times 3{,}375 = 675\) et \(b_4 = 200 \times 5{,}0625 = 1\,012{,}5\), soit environ 1 013 bactéries.
\(b_6 = 200 \times 11{,}390625 \approx 2\,278\) et \(b_7 = 200 \times 17{,}0859\ldots \approx 3\,417\). On dépasse 3 000 bactéries après 7 heures.

Raison 4 : le terme de rang \(k\) vaut \(5 + 4k\). \(5 + 4k = 101\) donne \(k = 24\) : il y a 25 termes.

\(S = 25 \times \dfrac{5 + 101}{2} = 25 \times 53 = 1\,325\).

\(u_1 = 1 + 1 = 2\) ; \(u_2 = 2 + 3 = 5\) ; \(u_3 = 5 + 5 = 10\) ; \(u_4 = 10 + 7 = 17\).
Ces valeurs sont \(0^2 + 1\), \(1^2 + 1\), \(2^2 + 1\), \(3^2 + 1\), \(4^2 + 1\) : on conjecture \(u_n = n^2 + 1\).
Si \(u_n = n^2 + 1\), alors \(u_n + 2n + 1 = n^2 + 2n + 2 = (n+1)^2 + 1 = u_{n+1}\). La formule est cohérente avec la récurrence.

De \(u_9 = u_4 + 5r\), on tire \(44 = 19 + 5r\), donc \(r = 5\).

\(u_4 = u_0 + 4r\) donne \(u_0 = 19 - 20 = -1\). Ainsi \(u_n = -1 + 5n\). Contrôle : \(u_9 = 44\).

\(v_5 = v_2 \times q^3\) donc \(q^3 = \dfrac{96}{12} = 8\), d’où \(q = 2\).

\(v_2 = v_0 q^2\) donne \(v_0 = \dfrac{12}{4} = 3\). Donc \(v_n = 3 \times 2^n\) et \(v_8 = 3 \times 256 = 768\).

Raison \(1{,}03\) : \(c_n = 2000 \times 1{,}03^n\).
c ← 2000 ; n ← 0 ; Tant que c ≤ 4000 : c ← 1,03 × c et n ← n + 1 ; puis afficher n.
Il faut \(1{,}03^n > 2\). Or \(1{,}03^{23} \approx 1{,}974\) et \(1{,}03^{24} \approx 2{,}033\) : le capital dépasse 4 000 € au bout de 24 ans.

\(w_{n+1} = u_{n+1} - 6 = 0{,}5\,u_n - 3 = 0{,}5(u_n - 6) = 0{,}5\,w_n\). La suite est géométrique de raison \(0{,}5\), avec \(w_0 = 1 - 6 = -5\).
\(w_n = -5 \times 0{,}5^n\), donc \(u_n = 6 - 5 \times 0{,}5^n\).
\(u_1 = 0{,}5 + 3 = 3{,}5\) et la formule donne \(6 - 2{,}5 = 3{,}5\) ; \(u_2 = 4{,}75 = 6 - 1{,}25\). Variation : \(u_{n+1} - u_n = -5 \times 0{,}5^n(0{,}5 - 1) = 2{,}5 \times 0{,}5^n > 0\) : la suite est croissante.

Premier terme 3, raison 2 : \(S_{10} = 3 \times \dfrac{1 - 2^{10}}{1 - 2} = 3 \times 1023 = 3\,069\).
Avec \(m\) termes, \(S = 3(2^m - 1)\). Pour \(m = 11\) : \(3 \times 2047 = 6\,141\) ; pour \(m = 12\) : \(3 \times 4095 = 12\,285\). Il faut 12 termes.

Suite arithmétique de raison \(-1\), 20 termes de 20 à 1 : \(S = 20 \times \dfrac{20 + 1}{2} = 210\) rondins.
Termes \(21 - 2k\) : \(21 - 2k = 1\) donne \(k = 10\), soit 11 rangées. \(S = 11 \times \dfrac{21 + 1}{2} = 121\) rondins.

\(u_1 = 2 + \dfrac{1}{2} = 2{,}5\) ; \(u_2 = 2{,}5 + \dfrac{1}{2{,}5} = 2{,}9\).
\(u_{n+1} - u_n = \dfrac{1}{u_n}\). Comme \(u_n > 0\), cette différence est strictement positive : la suite est strictement croissante.