Second degré : exercices corrigés de maths 1ère

1 Reconnaître un trinôme ★★★

Oui : \(a = 3\), \(b = -5\), \(c = 2\).
Oui, en écrivant \(g(x) = -x^2 + 0x + 4\) : \(a = -1\), \(b = 0\), \(c = 4\).
On développe : \(h(x) = x^2 + 2x - x - 2 = x^2 + x - 2\). Oui : \(a = 1\), \(b = 1\), \(c = -2\).
Non : il n’y a pas de terme en \(x^2\), c’est une fonction affine.

2 Calculs de discriminants ★★★

\(\Delta = 25 - 16 = 9 > 0\) : deux racines.
\(\Delta = 9 - 40 = -31 < 0\) : aucune racine.
\(\Delta = 144 - 144 = 0\) : une racine double.

3 Une équation simple ★★★

\(\Delta = 81 - 80 = 1 > 0\). Les solutions sont \(x_1 = \dfrac{9 - 1}{2} = 4\) et \(x_2 = \dfrac{9 + 1}{2} = 5\). Phrase-réponse : \(S = \{4\,;5\}\).

4 Vérifier une forme canonique ★★★

\(2(x-3)^2 - 8 = 2(x^2 - 6x + 9) - 8 = 2x^2 - 12x + 18 - 8 = 2x^2 - 12x + 10\). C’est bien \(f(x)\). Le sommet est \(S(3\,;-8)\) ; comme \(a = 2 > 0\), c’est un minimum.

5 Vrai ou faux ? ★★★

Faux : \(x^2 = -1\) est impossible dans \(\mathbb{R}\) (\(\Delta = -4 < 0\)).
Vrai : \(a = -2 < 0\).
Vrai : \(\Delta = 36 - 36 = 0\), la racine double est \(3\).
Vrai : les racines sont \(2\) et \(5\) (\(\Delta = 49 - 40 = 9\)) et \(2 + 5 = 7 = -\dfrac{b}{a}\).

6 Équations incomplètes ★★★

\(x(x-5) = 0\) donc \(x = 0\) ou \(x = 5\).
\(x^2 = 49\) donc \(x = -7\) ou \(x = 7\).
\(3x^2 - 12x = 0\), soit \(3x(x - 4) = 0\) : \(x = 0\) ou \(x = 4\).

7 Sommet d’une parabole ★★★

\(\alpha = -\dfrac{-8}{2} = 4\) et \(\beta = f(4) = 16 - 32 + 11 = -5\). Le sommet est \(S(4\,;-5)\), l’axe est la droite \(x = 4\). Comme \(a = 1 > 0\), \(f\) admet un minimum égal à \(-5\).

8 Équation avec fractions ★★★

\(\Delta = 9 - 4 \times 2 \times (-2) = 9 + 16 = 25\). Donc \(x_1 = \dfrac{-3 - 5}{4} = -2\) et \(x_2 = \dfrac{-3 + 5}{4} = \dfrac{1}{2}\). \(S = \left\{-2\,;\dfrac{1}{2}\right\}\).

9 Aucune solution ou racine double ★★★

\(\Delta = 36 - 40 = -4 < 0\) : \(S = \varnothing\).
\(\Delta = 144 - 144 = 0\) : racine double \(x_0 = -\dfrac{12}{18} = -\dfrac{2}{3}\). On peut aussi écrire \((3x+2)^2 = 0\). \(S = \left\{-\dfrac{2}{3}\right\}\).

10 Signe d’un trinôme de coefficient négatif ★★★

\(\Delta = 4 + 32 = 36\). Les racines sont \(x_1 = \dfrac{-2 - 6}{-2} = 4\) et \(x_2 = \dfrac{-2 + 6}{-2} = -2\). Factorisation : \(g(x) = -(x - 4)(x + 2)\). Comme \(a = -1 < 0\), \(g\) est positive entre les racines : \(S = ]-2\,;4[\) (voir la courbe).

11 Une inéquation large ★★★

\(\Delta = 9 + 40 = 49\), racines \(x_1 = \dfrac{3 - 7}{2} = -2\) et \(x_2 = \dfrac{3 + 7}{2} = 5\). Comme \(a > 0\), le trinôme est négatif ou nul entre les racines : \(S = [-2\,;5]\).

12 Forme canonique et sens de variation ★★★

\(3x^2 - 12x + 7 = 3(x^2 - 4x) + 7 = 3\left[(x-2)^2 - 4\right] + 7 = 3(x-2)^2 - 5\). Le sommet est \(S(2\,;-5)\) : \(f\) décroît sur \(]-\infty\,;2]\), croît sur \([2\,;+\infty[\), minimum \(-5 < 0\). La parabole descend sous l’axe des abscisses, donc elle le coupe deux fois. Vérification : \(\Delta = 144 - 84 = 60 > 0\).

13 Le jardin rectangulaire ★★★

La somme longueur + largeur vaut \(18\) m et leur produit \(77\). Ce sont les racines de \(x^2 - 18x + 77 = 0\). \(\Delta = 324 - 308 = 16\), \(x = \dfrac{18 \pm 4}{2}\) donc \(7\) et \(11\). Le jardin mesure \(11\) m sur \(7\) m (contrôle : \(2 \times 18 = 36\) et \(11 \times 7 = 77\)).

14 Somme et produit ★★★

Ce sont les racines de \(x^2 - 10x + 21 = 0\) : \(\Delta = 100 - 84 = 16\), \(x = \dfrac{10 \pm 4}{2}\), soit \(3\) et \(7\).
La somme des racines vaut \(7\), l’autre racine est \(7 - 2 = 5\). Vérification avec le produit : \(2 \times 5 = 10 = c\).

15 Racine double et paramètre ★★★

\(\Delta = 16 - 4m\).

Deux solutions si \(16 - 4m > 0\), soit \(m < 4\).
Une seule si \(m = 4\) (équation \((x-2)^2 = 0\)).
Aucune si \(m > 4\).

16 Le ballon ★★★

\(\alpha = -\dfrac{20}{-10} = 2\) et \(h(2) = -20 + 40 + 1{,}5 = 21{,}5\). Hauteur maximale : \(21{,}5\) m à \(t = 2\) s.

Le sol correspond à \(h(t) = 0\) : \(\Delta = 400 + 30 = 430\), \(t = \dfrac{-20 \pm \sqrt{430}}{-10}\). Seule la racine positive convient : \(t = \dfrac{20 + \sqrt{430}}{10} \approx 4{,}07\) s.

17 Retrouver une fonction ★★★

Le sommet donne \(f(x) = a(x-1)^2 + 5\). Avec \(f(3) = -3\) : \(4a + 5 = -3\), donc \(a = -2\). Forme canonique : \(f(x) = -2(x-1)^2 + 5\). Développée : \(-2(x^2 - 2x + 1) + 5 = -2x^2 + 4x + 3\). Vérification : \(f(3) = -18 + 12 + 3 = -3\).

18 Bénéfice d’une entreprise ★★★

\(\Delta = 3600 - 3200 = 400\), racines \(x = \dfrac{-60 \pm 20}{-4}\), soit \(10\) et \(20\). Comme \(a = -2 < 0\), \(B(x) > 0\) pour \(x \in ]10\,;20[\) : entre \(1\,000\) et \(2\,000\) bougies. Le maximum est atteint en \(\alpha = 15\) : \(B(15) = -450 + 900 - 400 = 50\) €.

19 Équation bicarrée ★★★

On résout \(X^2 - 5X + 4 = 0\) : \(\Delta = 25 - 16 = 9\), \(X = \dfrac{5 \pm 3}{2}\), soit \(X = 1\) ou \(X = 4\). Les deux valeurs sont positives, donc \(x^2 = 1\) ou \(x^2 = 4\) : \(S = \{-2\,;-1\,;1\,;2\}\).

20 Droite et parabole ★★★

\(f(x) = g(x)\) équivaut à \(x^2 - 3x - 4 = 0\) : \(\Delta = 9 + 16 = 25\), \(x = \dfrac{3 \pm 5}{2}\), soit \(-1\) ou \(4\). Points : \((-1\,;2)\) et \((4\,;7)\). Ensuite \(f(x) < g(x)\) équivaut à \(x^2 - 3x - 4 < 0\), négatif entre les racines : \(S = ]-1\,;4[\).