La trajectoire d’un ballon de basket, la forme d’une antenne parabolique, le bénéfice d’une petite entreprise : ces situations se décrivent avec une même famille de fonctions, les trinômes du second degré. Dans ce chapitre, tu apprends à les écrire sous trois formes, à les résoudre et à étudier leur signe.
1. La fonction polynôme du second degré
Une fonction \(f\) définie sur \(\mathbb{R}\) est une fonction polynôme du second degré s’il existe trois réels \(a\), \(b\), \(c\) avec \(a \neq 0\) tels que, pour tout réel \(x\) :
\[ f(x) = ax^2 + bx + c. \]
Cette écriture est la forme développée (ou forme réduite). On l’appelle aussi un trinôme.
Pour \(f(x) = 3x^2 - 5x + 2\) : \(a = 3\), \(b = -5\), \(c = 2\). Pour \(g(x) = 4 - x^2\) : \(a = -1\), \(b = 0\), \(c = 4\). Pour \(h(x) = (x-1)(x+2)\), on développe : \(h(x) = x^2 + x - 2\), donc \(a = 1\), \(b = 1\), \(c = -2\).
Si \(a = 0\), la fonction devient affine : ce n’est plus un trinôme du second degré. La condition \(a \neq 0\) est essentielle.
2. La forme canonique
Tout trinôme \(f(x) = ax^2 + bx + c\) s’écrit, pour tout réel \(x\) :
\[ f(x) = a\,(x - \alpha)^2 + \beta \quad \text{avec} \quad \alpha = -\dfrac{b}{2a} \quad \text{et} \quad \beta = f(\alpha). \]
Démonstration. On met \(a\) en facteur : \(f(x) = a\left(x^2 + \dfrac{b}{a}x + \dfrac{c}{a}\right)\). Or \(x^2 + \dfrac{b}{a}x = \left(x + \dfrac{b}{2a}\right)^2 - \dfrac{b^2}{4a^2}\). On obtient donc \(f(x) = a\left[\left(x + \dfrac{b}{2a}\right)^2 - \dfrac{b^2 - 4ac}{4a^2}\right]\), ce qui est de la forme annoncée.
- Mettre \(a\) en facteur devant \(x^2\) et \(x\).
- Reconnaître le début d’un carré : \(x^2 + px = (x + \tfrac{p}{2})^2 - \tfrac{p^2}{4}\).
- Redistribuer \(a\) et regrouper les constantes.
\(2x^2 + 12x + 7 = 2(x^2 + 6x) + 7 = 2\left[(x+3)^2 - 9\right] + 7 = 2(x+3)^2 - 18 + 7 = 2(x+3)^2 - 11.\) Ici \(\alpha = -3\) et \(\beta = -11\) : on retrouve bien \(f(-3) = 18 - 36 + 7 = -11\).
3. La parabole et ses variations
La courbe d’une fonction du second degré est une parabole. Son point le plus haut ou le plus bas est le sommet \(S(\alpha\,;\,\beta)\), et la droite verticale d’équation \(x = \alpha\) est son axe de symétrie.
- Si \(a > 0\) : \(f\) décroît sur \(]-\infty\,;\alpha]\), croît sur \([\alpha\,;+\infty[\) et admet un minimum \(\beta\) en \(\alpha\). La parabole est tournée vers le haut.
- Si \(a < 0\) : \(f\) croît puis décroît, et admet un maximum \(\beta\) en \(\alpha\). La parabole est tournée vers le bas.
Pour \(f(x) = x^2 - 4x + 3\), on a \(\alpha = \dfrac{4}{2} = 2\) et \(\beta = f(2) = 4 - 8 + 3 = -1\). Le sommet est \(S(2\,;-1)\), l’axe est la droite \(x = 2\) et le minimum vaut \(-1\).
4. Le discriminant et les racines
Le discriminant du trinôme \(ax^2 + bx + c\) est le nombre \(\Delta = b^2 - 4ac\). Une racine est un réel \(x\) tel que \(f(x) = 0\) : c’est l’abscisse d’un point où la parabole coupe l’axe des abscisses.
- Si \(\Delta > 0\) : deux racines distinctes \(x_1 = \dfrac{-b - \sqrt{\Delta}}{2a}\) et \(x_2 = \dfrac{-b + \sqrt{\Delta}}{2a}\).
- Si \(\Delta = 0\) : une racine double \(x_0 = -\dfrac{b}{2a}\) (égale à \(\alpha\)).
- Si \(\Delta < 0\) : aucune racine réelle.
La justification vient de la forme canonique : \(f(x) = a\left[\left(x - \alpha\right)^2 - \dfrac{\Delta}{4a^2}\right]\). Un carré ne peut valoir que des nombres positifs ou nuls, d’où les trois cas.
Sur la figure, la parabole bleue (\(x^2 - 4\)) coupe l’axe en deux points, l’orange (\(x^2\)) le touche en un seul point et la cyan (\(x^2 + 2\)) ne le rencontre pas.
\(\Delta = 1^2 - 4 \times 2 \times (-3) = 1 + 24 = 25 > 0\). Les racines sont \(x_1 = \dfrac{-1 - 5}{4} = -\dfrac{3}{2}\) et \(x_2 = \dfrac{-1 + 5}{4} = 1\).
Pour \(x^2 - 6x + 9 = 0\) : \(\Delta = 36 - 36 = 0\), racine double \(x_0 = 3\). Pour \(x^2 + 2x + 5 = 0\) : \(\Delta = 4 - 20 = -16 < 0\), aucune solution réelle.
5. Forme factorisée et signe du trinôme
Si \(\Delta > 0\), alors \(f(x) = a(x - x_1)(x - x_2)\). Si \(\Delta = 0\), alors \(f(x) = a(x - x_0)^2\). Si \(\Delta < 0\), le trinôme ne se factorise pas dans \(\mathbb{R}\).
Le trinôme est du signe de \(a\) à l’extérieur des racines, et du signe contraire de \(a\) entre les racines. Si \(\Delta \leq 0\), il est du signe de \(a\) pour tout \(x\) (et nul seulement en \(x_0\) quand \(\Delta = 0\)).
| Cas \(\Delta > 0\) | \(x < x_1\) | \(x = x_1\) | \(x_1 < x < x_2\) | \(x = x_2\) | \(x > x_2\) |
|---|---|---|---|---|---|
| \(a > 0\) | \(+\) | \(0\) | \(-\) | \(0\) | \(+\) |
| \(a < 0\) | \(-\) | \(0\) | \(+\) | \(0\) | \(-\) |
Résolvons \(2x^2 + x - 3 < 0\). D’après l’exemple 4, les racines sont \(-\dfrac{3}{2}\) et \(1\), et \(a = 2 > 0\). Le trinôme est négatif entre les racines : l’ensemble des solutions est \(\left]-\dfrac{3}{2}\,;1\right[\).
- Tout ramener d’un côté pour comparer à \(0\).
- Calculer \(\Delta\) puis les racines éventuelles.
- Lire le signe du trinôme avec le signe de \(a\).
- Conclure avec des intervalles en respectant les crochets (inégalité large ou stricte).
6. Somme et produit des racines
Si \(\Delta \geq 0\), les racines \(x_1\) et \(x_2\) vérifient :
\[ x_1 + x_2 = -\dfrac{b}{a} \quad \text{et} \quad x_1 \times x_2 = \dfrac{c}{a}. \]
Cherchons deux nombres de somme \(13\) et de produit \(40\). Ce sont les racines de \(x^2 - 13x + 40 = 0\). \(\Delta = 169 - 160 = 9\), donc \(x = \dfrac{13 \pm 3}{2}\) : les nombres sont \(5\) et \(8\).
Sur ma planète, on teste d’abord \(x = 1\) : si \(a + b + c = 0\), alors \(1\) est une racine et l’autre est \(\dfrac{c}{a}\). Cela évite parfois le discriminant !
7. Équations qui s’y ramènent
Certaines équations se ramènent à un trinôme par un changement d’inconnue. Pour \(x^4 - 10x^2 + 9 = 0\), on pose \(X = x^2\) : \(X^2 - 10X + 9 = 0\), de racines \(X = 1\) et \(X = 9\). Comme \(x^2 = X\), on obtient \(x = \pm 1\) ou \(x = \pm 3\). Pense à rejeter les valeurs négatives de \(X\), car un carré ne peut pas être négatif.
Ne divise jamais par \(x\) pour « simplifier » \(x^2 = 3x\) : tu perdrais la solution \(0\). Écris plutôt \(x^2 - 3x = 0\), soit \(x(x - 3) = 0\).
À retenir
- Un trinôme s’écrit \(ax^2 + bx + c\) avec \(a \neq 0\) ; sa courbe est une parabole.
- Forme canonique : \(a(x - \alpha)^2 + \beta\) avec \(\alpha = -\dfrac{b}{2a}\) et \(\beta = f(\alpha)\) ; le sommet est \(S(\alpha\,;\beta)\).
- Discriminant \(\Delta = b^2 - 4ac\) : deux racines si \(\Delta > 0\), une double si \(\Delta = 0\), aucune si \(\Delta < 0\).
- Le trinôme est du signe de \(a\) à l’extérieur des racines.
- Somme des racines \(-\dfrac{b}{a}\), produit \(\dfrac{c}{a}\).
