20 exercices classés par difficulté (★ facile, ★★ moyen, ★★★ difficile). Cherche d’abord sans regarder le corrigé !
1 Simplifier des puissances de e ★★★
Écris sous la forme \(e^{k}\) :
- \(e^{3} \times e^{5}\)
- \(\dfrac{e^{7}}{e^{2}}\)
- \((e^{2})^{4}\)
- \(e^{-3} \times e^{3}\)
- \(e^{x+1} \times e^{2x-1}\)
2 Vrai ou faux ? ★★★
Dis si chaque affirmation est vraie ou fausse, en justifiant.
- Pour tout réel \(x\), \(e^{x} > 0\).
- \(e^{2} = 2e\).
- \(e^{a+b} = e^{a} + e^{b}\) pour tous réels \(a\) et \(b\).
- \(e^{-x} = \dfrac{1}{e^{x}}\) pour tout réel \(x\).
3 Changer d’écriture ★★★
Écris sous la forme \(e^{k}\) (avec \(k\) un nombre ou une expression en \(x\)) :
- \(\dfrac{1}{e^{4}}\)
- \(\dfrac{e^{3}}{e^{5}}\)
- \((e^{-1})^{3}\)
- \(e \times e^{x}\)
4 Premières dérivées ★★★
Dérive chaque fonction sur \(\mathbb{R}\).
- \(f(x) = e^{3x}\)
- \(g(x) = e^{-2x+1}\)
- \(h(x) = 5e^{x/2}\)
- \(k(x) = e^{x} + x^{2}\)
5 Signe d’une expression ★★★
Dans chaque cas, donne le signe de l’expression ou résous l’inéquation.
- \(e^{2x-3}\)
- \(-4e^{x}\)
- \((x-2)\,e^{x} \geq 0\)
- \(\dfrac{e^{x}}{x^{2}+1}\)
6 Comparer sans calculatrice ★★★
Compare sans calculatrice, en justifiant par le sens de variation de l’exponentielle :
- \(e^{3}\) et \(e^{5}\)
- \(e^{-1}\) et \(e^{-2}\)
- \(e^{0{,}5}\) et \(1\)
- \(e^{-3}\) et \(1\)
7 Une culture de levure ★★★
Le nombre de cellules d’une culture de levure, en milliers, est modélisé par \(N(t) = 200\,e^{0{,}3t}\), où \(t\) est le temps en heures.
- Calcule \(N(0)\).
- Calcule \(N(2)\) et arrondis à l’unité.
- La quantité de levure augmente-t-elle ? Justifie.
8 Équations et inéquations ★★★
Résous dans \(\mathbb{R}\) :
- \(e^{2x-1} = e^{x+3}\)
- \(e^{3x} \leq e^{x+4}\)
- \(e^{x^{2}} = e^{4x-3}\)
- \(e^{5x-2} > 1\)
9 Un produit avec exponentielle ★★★
Soit \(f(x) = (2x+1)\,e^{x}\) sur \(\mathbb{R}\).
- Calcule \(f'(x)\) et montre que \(f'(x) = (2x+3)\,e^{x}\).
- Étudie le signe de \(f'\) et dresse le tableau de variations de \(f\).
- Calcule la valeur du minimum, arrondie à \(10^{-2}\).
10 Une fonction qui s’annule en 4 ★★★
Soit \(g(x) = (x-3)\,e^{-x}\) sur \(\mathbb{R}\).
- Montre que \(g'(x) = (4-x)\,e^{-x}\).
- Dresse le tableau de variations de \(g\).
- Donne la valeur exacte de l’extremum et dis s’il s’agit d’un maximum ou d’un minimum.
11 Un quotient ★★★
Soit \(h(x) = \dfrac{e^{x}}{e^{x}+1}\) sur \(\mathbb{R}\).
- Justifie que \(h\) est définie sur \(\mathbb{R}\).
- Montre que \(h'(x) = \dfrac{e^{x}}{(e^{x}+1)^{2}}\).
- En déduire le sens de variation de \(h\) et calcule \(h(0)\).
12 Une identité remarquable ★★★
Montre que, pour tout réel \(x\) :
- \(\big(e^{x} + e^{-x}\big)^{2} - \big(e^{x} - e^{-x}\big)^{2} = 4\)
- \(\dfrac{e^{x}-1}{e^{x}+1}\) peut s’écrire \(\dfrac{1 - e^{-x}}{1 + e^{-x}}\).
13 Tangentes à la courbe de e^{2x} ★★★
Soit \(f(x) = e^{2x}\) et \(\mathcal{C}\) sa courbe.
- Détermine l’équation de la tangente \(T_0\) à \(\mathcal{C}\) au point d’abscisse \(0\).
- Détermine l’équation de la tangente \(T_{1/2}\) au point d’abscisse \(\dfrac{1}{2}\) et montre qu’elle passe par l’origine.
14 Un café qui refroidit ★★★
La température d’un café, en °C, est donnée par \(T(t) = 20 + 60\,e^{-0{,}1t}\), où \(t\) est le temps en minutes.
- Calcule \(T(0)\), puis \(T(10)\) arrondi au dixième.
- Calcule \(T'(t)\) et déduis-en le sens de variation de \(T\).
- À quelle vitesse (en °C par minute) la température varie-t-elle à \(t = 0\) ?
15 Unicité de la fonction exponentielle ★★★
Soit \(g\) une fonction dérivable sur \(\mathbb{R}\) telle que \(g' = g\) et \(g(0) = 1\). On pose \(q(x) = \dfrac{g(x)}{e^{x}}\).
- Justifie que \(q\) est définie et dérivable sur \(\mathbb{R}\).
- Calcule \(q'(x)\).
- Conclus que \(g = \exp\).
16 Étude complète d’une fonction ★★★
Soit \(f(x) = (x^{2}+x-1)\,e^{x}\) sur \(\mathbb{R}\).
- Montre que \(f'(x) = x(x+3)\,e^{x}\).
- Dresse le tableau de variations de \(f\) (valeurs exactes aux extremums).
- Donne l’équation de la tangente à la courbe au point d’abscisse \(0\).
- Combien l’équation \(f(x) = 0\) a-t-elle de solutions ? Justifie.
17 Une inégalité fondamentale ★★★
Soit \(h(x) = e^{x} - x - 1\) sur \(\mathbb{R}\).
- Calcule \(h'(x)\) et étudie son signe.
- Dresse le tableau de variations de \(h\).
- Déduis-en que \(e^{x} \geq x + 1\) pour tout réel \(x\), puis que \(e^{x} > x\).
- Interprète géométriquement ce résultat.
18 Une suite de désintégration ★★★
Un échantillon contient \(5\) g d’une substance dont la masse, en grammes, après \(n\) jours est \(u_n = 5\,e^{-0{,}2n}\).
- Montre que \((u_n)\) est géométrique et précise sa raison (valeur approchée à \(10^{-3}\)) et son premier terme.
- Quel est son sens de variation ?
- Calcule \(u_{10}\) arrondi à \(10^{-3}\).
- Calcule \(S = u_0 + u_1 + \dots + u_9\), arrondi à \(10^{-2}\).
19 Une suite de puissances de e ★★★
Soit \((w_n)\) la suite définie par \(w_n = e^{2n+1}\) pour tout entier \(n\).
- Montre que \((w_n)\) est géométrique et donne sa raison et son premier terme.
- Exprime \(w_5\) sous la forme \(e^{k}\).
- À partir de quel rang a-t-on \(w_n > 1\,000\) ? (calculatrice autorisée)
20 Deux modèles de placement ★★★
Léa place \(1\,000\) € pendant \(t\) années. Avec la banque A, le capital est \(A(t) = 1\,000 \times 1{,}04^{t}\). Avec la banque B, il est \(B(t) = 1\,000\,e^{0{,}04t}\).
- Calcule \(A(10)\) et \(B(10)\), arrondis au centime.
- Montre que \(B(t)\) correspond à une suite géométrique quand \(t = n\) est entier, de raison \(e^{0{,}04}\) ; calcule cette raison à \(10^{-4}\) près.
- Quelle banque est la plus avantageuse ? Justifie avec \(e^{0{,}04} \geq 1 + 0{,}04\).
