Corrigés rédigés des exercices du chapitre. Vérifie chaque étape, puis corrige-toi.
1 Qui est l’hypoténuse ? ★★★
- L’angle droit est en \(F\), donc l’hypoténuse est le côté opposé : \([EG]\).
- Les côtés de l’angle droit sont \([EF]\) et \([FG]\).
2 Écrire l’égalité ★★★
L’hypoténuse est \([RT]\), opposée à l’angle droit en \(S\). Donc \(RT^2 = RS^2 + ST^2\).
3 Carrés à connaître ★★★
\(7^2 = 49\) ; \(12^2 = 144\) ; \(15^2 = 225\) ; \(1{,}5^2 = 2{,}25\) ; \(0{,}3^2 = 0{,}09\).
4 Racines carrées ★★★
\(\sqrt{81} = 9\) car \(9^2 = 81\) ; \(\sqrt{196} = 14\) car \(14^2 = 196\) ; \(\sqrt{400} = 20\) ; \(\sqrt{0{,}25} = 0{,}5\) car \(0{,}5^2 = 0{,}25\) ; \(\sqrt{1} = 1\).
5 L’hypoténuse, cas simple ★★★
\(ABC\) est rectangle en \(B\), donc d’après le théorème de Pythagore : \(AC^2 = AB^2 + BC^2 = 36 + 64 = 100\).
\(AC\) étant positive, \(AC = \sqrt{100} = 10\) cm.
6 Un triangle bien connu ★★★
\(JL^2 = JK^2 + KL^2 = 25 + 144 = 169\), donc \(JL = \sqrt{169} = 13\) cm.
7 Un côté de l’angle droit ★★★
\(MNP\) est rectangle en \(N\), donc \(MP^2 = MN^2 + NP^2\), soit \(289 = 64 + NP^2\).
\(NP^2 = 289 - 64 = 225\), donc \(NP = \sqrt{225} = 15\) cm.
8 Une valeur approchée ★★★
\(DF^2 = DE^2 + EF^2 = 16 + 49 = 65\), donc \(DF = \sqrt{65}\).
À la calculatrice, \(\sqrt{65} \approx 8{,}06\), donc \(DF \approx 8{,}06\) cm (arrondi au centième).
9 Un côté qui n’est pas rond ★★★
\(YZ^2 = XY^2 + XZ^2\), donc \(81 = 36 + XZ^2\) et \(XZ^2 = 81 - 36 = 45\).
\(XZ = \sqrt{45} \approx 6{,}71\) cm (arrondi au centième).
10 Diagonale d’un rectangle ★★★
La diagonale partage le rectangle en deux triangles rectangles, dont elle est l’hypoténuse.
\(d^2 = 24^2 + 7^2 = 576 + 49 = 625\), donc \(d = \sqrt{625} = 25\) cm.
11 L’échelle du peintre ★★★
Le sol et le mur forment un angle droit : l’échelle est l’hypoténuse. Soit \(h\) la hauteur cherchée.
\(5^2 = 1{,}4^2 + h^2\), donc \(h^2 = 25 - 1{,}96 = 23{,}04\) et \(h = \sqrt{23{,}04} = 4{,}8\).
L’échelle touche le mur à \(4{,}8\) m de hauteur.
12 Rectangle ou pas ? (1) ★★★
Le plus grand côté est \([BC]\). D’une part, \(BC^2 = 225\). D’autre part, \(AB^2 + AC^2 = 81 + 144 = 225\).
\(BC^2 = AB^2 + AC^2\) : d’après la réciproque du théorème de Pythagore, \(ABC\) est rectangle en \(A\).
13 Rectangle ou pas ? (2) ★★★
Le plus grand côté mesure \(12\) cm : \(12^2 = 144\). Et \(7^2 + 9^2 = 49 + 81 = 130\).
\(144 \neq 130\), donc l’égalité de Pythagore n’est pas vérifiée : le triangle n’est pas rectangle.
14 La diagonale d’un carré ★★★
La diagonale est l’hypoténuse d’un triangle rectangle dont les côtés de l’angle droit mesurent \(8\) cm : \(d^2 = 8^2 + 8^2 = 128\).
La valeur exacte est \(d = \sqrt{128}\), et \(d \approx 11{,}31\) cm (arrondi au centième).
15 Un triangle isocèle ★★★
Dans un triangle isocèle, la hauteur issue du sommet principal est aussi la médiane : \(AH\) coupe \([BC]\) à angle droit et \(BH = 10 \div 2 = 5\) cm.
Dans \(ABH\) rectangle en \(H\) : \(AB^2 = AH^2 + BH^2\), donc \(169 = AH^2 + 25\) et \(AH^2 = 144\), soit \(AH = 12\) cm.
Aire : \(\dfrac{BC \times AH}{2} = \dfrac{10 \times 12}{2} = 60\) cm².
16 Distance dans un repère ★★★
Place \(C(7\,;\,2)\) : le triangle \(ACB\) est rectangle en \(C\), avec \(AC = 7 - 1 = 6\) et \(CB = 10 - 2 = 8\).
\(AB^2 = 6^2 + 8^2 = 36 + 64 = 100\), donc \(AB = 10\) unités.
17 Le cerf-volant ★★★
Le triangle formé par le fil, le sol et la verticale est rectangle ; le fil est l’hypoténuse.
\(25^2 = 15^2 + h^2\), donc \(h^2 = 625 - 225 = 400\) et \(h = \sqrt{400} = 20\).
Le cerf-volant vole à \(20\) m de hauteur.
18 Diagonale d’un pavé ★★★
Étape 1. La base est un rectangle de \(3\) cm sur \(4\) cm : sa diagonale vaut \(\sqrt{3^2 + 4^2} = \sqrt{25} = 5\) cm.
Étape 2. La grande diagonale est l’hypoténuse d’un triangle rectangle de côtés \(5\) cm (diagonale de la base) et \(12\) cm (hauteur) : \(D^2 = 5^2 + 12^2 = 169\), donc \(D = 13\) cm.
19 Avec des décimaux ★★★
Le plus grand côté est \([BC]\) : \(BC^2 = 6{,}5^2 = 42{,}25\).
\(AB^2 + AC^2 = 6{,}25 + 36 = 42{,}25\).
\(BC^2 = AB^2 + AC^2\) : par la réciproque du théorème de Pythagore, \(ABC\) est rectangle en \(A\), le sommet opposé à \([BC]\).
20 Le trapèze rectangle ★★★
\(ABHD\) est un rectangle, donc \(DH = AB = 9\) cm et \(BH = AD = 12\) cm. Ainsi \(HC = 14 - 9 = 5\) cm.
Le triangle \(BHC\) est rectangle en \(H\) : \(BC^2 = BH^2 + HC^2 = 144 + 25 = 169\), donc \(BC = 13\) cm.
