Le prix d’un pain, le temps d’un sprinteur, la masse d’une pomme : dans la vie, on a rarement des nombres « ronds ». Les nombres décimaux servent à écrire avec précision ce qui se trouve entre deux nombres entiers. Dans ce chapitre, tu vas apprendre à les lire, à les comparer, à les placer sur une droite et à les arrondir.
1. L’écriture décimale
Un nombre décimal s’écrit avec une virgule qui sépare deux parties : la partie entière (à gauche de la virgule) et la partie décimale (à droite). Dans \(47{,}308\), la partie entière est \(47\) et la partie décimale est \(0{,}308\).
Les chiffres placés à droite de la virgule indiquent des morceaux d’unité de plus en plus petits : les dixièmes, les centièmes, les millièmes. Pour représenter un dixième, on partage une unité en 10 parts égales.
La bande ci-dessus (une unité) est partagée en 10 parts, et 3 parts sont coloriées : on lit « trois dixièmes » et on écrit \(0{,}3\). Un centième, c’est un dixième partagé encore en 10 : l’unité est alors partagée en 100.
Écrire en chiffres « 3 unités, 4 dixièmes et 7 centièmes ».
On écrit \(3\) pour la partie entière, puis \(4\) en première position après la virgule, puis \(7\) en deuxième position : \(3{,}47\).
La virgule ne sépare pas deux nombres entiers indépendants. Dans \(3{,}5\), le \(5\) n’est pas « cinq » mais cinq dixièmes. On peut ajouter des zéros inutiles à la fin de la partie décimale : \(2{,}5 = 2{,}50 = 2{,}500\), mais jamais au milieu.
2. La valeur de chaque chiffre
Comme pour les nombres entiers, la position d’un chiffre détermine sa valeur. Voici le nombre \(83{,}506\) dans le tableau de numération (la virgule se place entre les unités et les dixièmes).
| Dizaines | Unités | Dixièmes | Centièmes | Millièmes |
|---|---|---|---|---|
| 8 | 3 | 5 | 0 | 6 |
Chaque position vaut dix fois moins que celle qui est à sa gauche. On en déduit la valeur de chaque chiffre :
| Chiffre | Position | Valeur |
|---|---|---|
| \(8\) | dizaines | \(80\) |
| \(3\) | unités | \(3\) |
| \(5\) | dixièmes | \(5\) dixièmes, soit \(\dfrac{5}{10} = 0{,}5\) |
| \(0\) | centièmes | \(0\) |
| \(6\) | millièmes | \(6\) millièmes, soit \(\dfrac{6}{1000} = 0{,}006\) |
Dans \(82{,}153\), quelle est la valeur du chiffre \(5\) ?
Les chiffres sont : \(8\) dizaines, \(2\) unités, \(1\) dixième, \(5\) centièmes, \(3\) millièmes. Le \(5\) est le chiffre des centièmes : sa valeur est \(\dfrac{5}{100} = 0{,}05\).
On peut donc décomposer un décimal : \(82{,}153 = 80 + 2 + \dfrac{1}{10} + \dfrac{5}{100} + \dfrac{3}{1000}\).
3. Les fractions décimales
Une fraction décimale est une fraction dont le dénominateur est \(10\), \(100\), \(1000\)… Elle s’écrit toujours sous forme d’un nombre décimal.
- Compte les zéros du dénominateur : ils donnent le nombre de chiffres après la virgule.
- Écris le numérateur et place la virgule en comptant ce nombre de chiffres en partant de la droite.
- Complète avec des zéros si le numérateur n’a pas assez de chiffres.
Écrire \(\dfrac{125}{100}\) et \(\dfrac{7}{1000}\) sous forme décimale.
\(\dfrac{125}{100}\) : deux zéros, donc deux chiffres après la virgule : \(1{,}25\).
\(\dfrac{7}{1000}\) : trois zéros, donc trois chiffres après la virgule : \(0{,}007\).
Dans l’autre sens, \(0{,}37 = \dfrac{37}{100}\) (voir le carré de 100 carreaux) et \(4{,}2 = \dfrac{42}{10}\).
4. Comparer et ranger des décimaux
Entre deux décimaux ayant des parties entières différentes, le plus grand est celui dont la partie entière est la plus grande. Si les parties entières sont égales, on compare les chiffres de même position, de la gauche vers la droite : le premier chiffre différent décide.
- Compare d’abord les parties entières : la plus grande l’emporte.
- Si elles sont égales, compare les chiffres des dixièmes, puis des centièmes, puis des millièmes.
- Pour t’aider, ajoute des zéros afin que les deux nombres aient le même nombre de chiffres après la virgule.
Ranger dans l’ordre croissant : \(4{,}09\) ; \(4{,}9\) ; \(4{,}19\) ; \(4{,}091\).
Même partie entière : on écrit les décimales avec trois chiffres : \(4{,}090\) ; \(4{,}900\) ; \(4{,}190\) ; \(4{,}091\). On compare \(90\), \(900\), \(190\) et \(91\) : \(4{,}09 \lt 4{,}091 \lt 4{,}19 \lt 4{,}9\).
Un nombre n’est pas plus grand parce qu’il a plus de chiffres après la virgule. On a \(3{,}15 \lt 3{,}2\) car \(3{,}15 \lt 3{,}20\), même si \(15 \gt 2\).
5. Placer des décimaux sur une droite graduée
Sur une droite graduée, un nombre est repéré par son abscisse. Entre deux entiers consécutifs, on partage l’unité en 10 pour obtenir les dixièmes. Lis la droite ci-dessous : le point \(A\) est à 2 petits intervalles après \(3\), d’abscisse \(3{,}2\) ; le point \(B\) a pour abscisse \(3{,}7\).
Pour lire un centième, on zoome : on partage encore chaque dixième en 10. Entre \(2{,}3\) et \(2{,}4\), chaque petit intervalle vaut \(0{,}01\) et le point \(M\) est à 4 centièmes après \(2{,}3\) : son abscisse est \(2{,}34\).
Sur ma planète, quand je ne vois pas bien un point, je regarde dans une loupe : je compte les petits traits depuis la graduation de gauche, et j’ajoute chaque trait comme un dixième ou un centième !
6. Intercaler des décimaux
Entre deux nombres décimaux différents, il y a toujours une infinité d’autres décimaux. Pour en trouver un, ajoute des chiffres après la virgule.
Intercaler un décimal entre \(2{,}6\) et \(2{,}7\), puis entre \(5{,}17\) et \(5{,}18\).
\(2{,}6 = 2{,}60\) et \(2{,}7 = 2{,}70\) : on peut choisir \(2{,}63\) (ou \(2{,}65\), ou \(2{,}69\)…). Pour \(5{,}17\) et \(5{,}18\), on écrit \(5{,}170\) et \(5{,}180\) et on choisit \(5{,}175\). Ainsi \(2{,}6 \lt 2{,}63 \lt 2{,}7\) et \(5{,}17 \lt 5{,}175 \lt 5{,}18\).
7. Encadrer un décimal
Encadrer un nombre, c’est trouver deux valeurs « rondes » qui le coincent. On précise l’unité, le dixième ou le centième près : l’encadrement est alors fait avec deux nombres consécutifs de cette précision.
Encadrer \(38{,}462\) à l’unité, au dixième et au centième.
À l’unité : \(38 \lt 38{,}462 \lt 39\). Au dixième : \(38{,}4 \lt 38{,}462 \lt 38{,}5\). Au centième : \(38{,}46 \lt 38{,}462 \lt 38{,}47\).
8. Arrondir un décimal
- Repère le chiffre de la position demandée (unité, dixième, centième…).
- Regarde le chiffre juste à sa droite.
- S’il est \(0\), \(1\), \(2\), \(3\) ou \(4\), on garde le chiffre ; s’il est \(5\), \(6\), \(7\), \(8\) ou \(9\), on l’augmente de 1.
- On supprime tous les chiffres suivants.
L’arrondi est la valeur de l’encadrement qui est la plus proche du nombre. Sur la droite, le point \(M\) d’abscisse \(5{,}64\) est plus proche de \(5{,}6\) que de \(5{,}7\) : son arrondi au dixième est \(5{,}6\).
Arrondir \(6{,}375\) au dixième, puis au centième, et \(19{,}5\) à l’unité.
Au dixième : le chiffre suivant le \(3\) est \(7\), donc \(6{,}4\). Au centième : le chiffre suivant le \(7\) est \(5\), donc on augmente : \(6{,}38\). À l’unité : le chiffre des dixièmes de \(19{,}5\) est \(5\), donc \(20\).
À retenir
- Un nombre décimal a une partie entière et une partie décimale séparées par une virgule ; les chiffres après la virgule sont des dixièmes, centièmes, millièmes…
- Chaque position vaut dix fois moins que celle de gauche ; ajouter des zéros à la fin de la partie décimale ne change pas le nombre.
- Une fraction décimale (dénominateur \(10\), \(100\), \(1000\)) s’écrit comme un décimal : \(\dfrac{47}{100} = 0{,}47\).
- Pour comparer, on compare les parties entières, puis les dixièmes, centièmes… en complétant avec des zéros.
- Entre deux décimaux, on peut toujours en intercaler d’autres ; on peut encadrer et arrondir au dixième ou au centième le plus proche (chiffre suivant \(5\) ou plus : on augmente).
