Faire des courses, partager une note, mesurer un saut, comparer des temps de course : les nombres décimaux sont partout, et il faut savoir les additionner, soustraire, multiplier et diviser sans se tromper de virgule. Dans ce chapitre, tu vas découvrir des méthodes sûres pour chaque opération, des raccourcis pour les calculer de tête, et le réflexe qui évite les grosses erreurs : estimer le résultat avant de calculer.
1. Additionner des décimaux
Pour additionner deux décimaux, on ne mélange jamais les unités avec les dixièmes : on met donc chaque chiffre en face de son voisin de même rang.
- Écris les nombres l’un sous l’autre en alignant les virgules (et donc les unités sous les unités, les dixièmes sous les dixièmes…).
- Complète avec des zéros si besoin pour que les deux nombres aient autant de décimales.
- Additionne colonne par colonne, en partant de la droite, sans oublier les retenues.
- Place la virgule du résultat dans la même colonne que les autres.
Calcule \(14{,}7 + 3{,}85\).
On écrit \(14{,}70\) pour avoir deux décimales. Centièmes : \(0 + 5 = 5\). Dixièmes : \(7 + 8 = 15\), on pose \(5\) et on retient \(1\). Unités : \(4 + 3 + 1 = 8\). Dizaines : \(1\). Donc \(14{,}7 + 3{,}85 = 18{,}55\).
On peut aussi voir l’addition sur une droite graduée : additionner \(1{,}7\) à \(2{,}4\), c’est avancer de \(1{,}7\) unité à partir du point d’abscisse \(2{,}4\), et on arrive à \(4{,}1\).
Ne cale jamais les nombres à droite sans regarder les virgules ! Pour \(3{,}2 + 4{,}15\), si tu écris \(32\) sous \(415\), tu trouves un résultat faux. Il faut écrire \(3{,}20 + 4{,}15 = 7{,}35\).
2. Soustraire des décimaux
La soustraction se pose de la même façon : virgules alignées, zéros ajoutés, on calcule de droite à gauche en utilisant des retenues quand le chiffre du haut est trop petit.
Calcule \(20{,}5 - 7{,}36\).
On écrit \(20{,}50 - 7{,}36\). Centièmes : \(0 - 6\) impossible, on passe à \(10 - 6 = 4\) avec une retenue. Dixièmes : \(5 - (3 + 1) = 1\). Unités : \(0 - 7\) impossible, on passe à \(10 - 7 = 3\) avec une retenue. Dizaines : \(2 - 1 = 1\). Le résultat est \(13{,}14\).
Vérification : \(13{,}14 + 7{,}36 = 20{,}50\). C’est bien le nombre de départ.
Une soustraction se contrôle toujours par une addition : si \(a - b = c\), alors \(c + b = a\).
3. Multiplier des décimaux
- Efface les virgules et multiplie les deux nombres entiers obtenus.
- Compte le nombre total de chiffres après la virgule dans les deux facteurs.
- Dans le résultat, place la virgule pour avoir ce même nombre de décimales.
Calcule \(2{,}3 \times 1{,}4\).
On calcule \(23 \times 14 = 322\). Les facteurs ont chacun une décimale, donc le produit en a deux : \(2{,}3 \times 1{,}4 = 3{,}22\).
La figure explique pourquoi : le rectangle de côtés \(2{,}3\) et \(1{,}4\) se découpe en quatre morceaux d’aires \(2\), \(0{,}3\), \(0{,}8\) et \(0{,}12\), dont la somme vaut bien \(3{,}22\).
Multiplier par un nombre plus petit que \(1\) rend plus petit. Ainsi \(0{,}3 \times 0{,}2 = 0{,}06\) et non \(0{,}6\) : deux décimales en tout, donc le résultat a deux décimales. Si tu trouves plus grand, c’est que la virgule est mal placée.
4. Multiplier et diviser par 10, 100, 1 000
Multiplier par \(10\), \(100\) ou \(1\,000\) revient à décaler la virgule de \(1\), \(2\) ou \(3\) rangs vers la droite. Diviser par \(10\), \(100\) ou \(1\,000\) revient à la décaler de \(1\), \(2\) ou \(3\) rangs vers la gauche. On ajoute des zéros quand il manque des chiffres.
En réalité, la virgule ne bouge pas : ce sont les chiffres qui changent de colonne. Chaque chiffre devient dix fois plus grand quand on multiplie par \(10\).
\(0{,}358 \times 1\,000 = 358\) ; \(4{,}7 \times 100 = 470\) ; \(52{,}3 \div 100 = 0{,}523\) ; \(6 \div 1\,000 = 0{,}006\).
| Opération | Décalage | Exemple |
|---|---|---|
| \(\times 10\) | 1 rang vers la droite | \(3{,}6 \times 10 = 36\) |
| \(\times 100\) | 2 rangs vers la droite | \(0{,}82 \times 100 = 82\) |
| \(\div 10\) | 1 rang vers la gauche | \(47 \div 10 = 4{,}7\) |
| \(\div 1\,000\) | 3 rangs vers la gauche | \(830 \div 1\,000 = 0{,}83\) |
5. La division décimale
Le quotient de \(a\) par \(b\) (avec \(b\) différent de \(0\)) est le nombre qui, multiplié par \(b\), donne \(a\). On le note \(a \div b\).
Il y a trois situations à savoir traiter.
a) Diviser deux entiers pour obtenir un quotient décimal. Quand il reste quelque chose, on continue la division en descendant des zéros après la virgule : on découpe le reste en dixièmes, puis en centièmes. Pour \(17 \div 4\) : \(17 = 4 \times 4 + 1\), il reste \(1\) unité, soit \(10\) dixièmes ; \(10 = 4 \times 2 + 2\), il reste \(2\) dixièmes, soit \(20\) centièmes ; \(20 = 4 \times 5\). Donc \(17 \div 4 = 4{,}25\).
b) Diviser un décimal par un entier. On pose la division en mettant la virgule du quotient quand on « abaisse » le premier chiffre après la virgule du dividende. Pour \(15{,}6 \div 4\) : on trouve \(3{,}9\), car \(4 \times 3{,}9 = 15{,}6\).
c) Diviser par un décimal. On multiplie les deux nombres par la même puissance de \(10\) pour que le diviseur devienne entier : le quotient ne change pas.
Calcule \(7{,}2 \div 0{,}4\).
On multiplie les deux nombres par \(10\) : \(7{,}2 \div 0{,}4 = 72 \div 4 = 18\). Vérification : \(0{,}4 \times 18 = 7{,}2\).
Certaines divisions ne se terminent jamais, comme \(10 \div 3 = 3{,}333\ldots\) Dans ce cas, on donne une valeur approchée (par exemple \(3{,}33\) au centième près) et on précise l’arrondi.
6. L’ordre de grandeur
Avant de calculer, on peut estimer le résultat en remplaçant chaque nombre par un nombre proche et simple (souvent arrondi à l’unité ou à la dizaine). Cela permet de détecter une virgule mal placée.
Donne un ordre de grandeur de \(19{,}8 \times 3{,}1\).
\(19{,}8\) est proche de \(20\) et \(3{,}1\) est proche de \(3\), donc le produit est proche de \(20 \times 3 = 60\). Le calcul exact donne \(61{,}38\) : le résultat est cohérent. Si on avait trouvé \(6{,}138\) ou \(613{,}8\), on aurait su qu’il y avait une erreur.
7. Calculer mentalement
Quelques raccourcis rendent le calcul mental rapide et sûr.
| Idée | Astuce | Exemple |
|---|---|---|
| Compléter à 10 | chercher le complément | \(3{,}7 + 6{,}3 = 10\) |
| Multiplier par \(5\) | multiplier par \(10\) puis diviser par \(2\) | \(3{,}6 \times 5 = 36 \div 2 = 18\) |
| Multiplier par \(0{,}5\) | prendre la moitié | \(0{,}5 \times 18 = 9\) |
| Diviser par \(0{,}5\) | multiplier par \(2\) | \(8{,}4 \div 0{,}5 = 16{,}8\) |
| Multiplier par \(4\) | doubler deux fois | \(2{,}5 \times 4 = 5 \times 2 = 10\) |
Sur ma planète, on dit : « Diviser par un demi, c’est multiplier par deux ». Retiens-le, il te sauvera quand tu seras pressé !
8. Résoudre un problème à étapes
- Lis l’énoncé en entier et repère la question finale.
- Cherche les questions intermédiaires : que faut-il connaître avant de répondre ?
- Effectue chaque calcul l’un après l’autre, en gardant les unités.
- Vérifie avec un ordre de grandeur, puis écris une phrase-réponse.
Chloé achète \(3\) gourdes à \(4{,}25\) € l’une et un sac à \(12{,}90\) €. Elle paie avec un billet de \(30\) €. Combien lui rend-on ?
Prix des gourdes : \(3 \times 4{,}25 = 12{,}75\) €. Dépense totale : \(12{,}75 + 12{,}90 = 25{,}65\) €. Monnaie rendue : \(30 - 25{,}65 = 4{,}35\) €. On lui rend \(4{,}35\) €.
À retenir
- Pour additionner ou soustraire, on aligne les virgules et on complète avec des zéros.
- Pour multiplier, on oublie les virgules, puis le produit a autant de décimales que les deux facteurs réunis.
- Multiplier (diviser) par \(10\), \(100\), \(1\,000\) décale les chiffres de \(1\), \(2\), \(3\) rangs vers la gauche (la droite).
- Pour diviser par un décimal, on multiplie les deux nombres par \(10\), \(100\)… jusqu’à avoir un diviseur entier.
- On estime toujours un ordre de grandeur pour contrôler le résultat.
- Dans un problème, on découpe en étapes et on termine par une phrase-réponse avec l’unité.
